Sviluppo di funzione attraverso Taylor
Salve a tutti.
Ultimamente sono alle prese con gli sviluppi elementari attraverso la formula di Taylor e non mi sono chiare alcune cose.
Copio un esercizio guidato preso dal libro per esporvi le mie perplessità.
L'intento sarebbe quello di verificare che:
$sen^2(x) = x^2 - x^4/3 + o(x^5)$
Quindi, sviluppando $sen^2(x)$ con la formula di Taylor di centro $x_0 = 0$ fino al secondo ordine, abbiamo che:
$sen^2(x) = (x - x^3/6 + o(x^4))^2 = x^2 + x^6/36 + o[(x^4)]^2 - x^4/3 + 2x * o(x^4) - x^3/3 * o(x^4)$
A questo punto il libro riporta che, per $x \to 0$, i seguenti addendi sono infinitesimi di ordine superiore a $x^5$ (sono quindi $o(x^5)$):
$x^6/36, [o(x^4)]^2, 2x * o(x^4), - x^3/3 * o(x^4)$
e perciò $sen^2(x) = x^2 - x^4/3 + o(x^5)$
A questo punto le mie domande sono:
1. Il ragionamento di considerare la $x \to 0$, e quindi "eliminare" alcuni addendi, vale in virtù del fatto che la formula di Taylor nasce con lo scopo di approssimare una funzione solo locamente e quindi solo per un $x \to x_0$, dove in questo caso $x_0 = 0$?
2. Perchè si è scelto proprio $o(x^5)$ come metro di paragone?
3. Se è vero che $2x * o(x^4) = o(x^5)$ allora perchè quel prodotto è ugualmente considerato un infinitesimo di ordine superiore rispetto a $o(x^5)$?
Vi ringrazio anticipatamente e vi chiedo di avere pazienza
Ultimamente sono alle prese con gli sviluppi elementari attraverso la formula di Taylor e non mi sono chiare alcune cose.
Copio un esercizio guidato preso dal libro per esporvi le mie perplessità.
L'intento sarebbe quello di verificare che:
$sen^2(x) = x^2 - x^4/3 + o(x^5)$
Quindi, sviluppando $sen^2(x)$ con la formula di Taylor di centro $x_0 = 0$ fino al secondo ordine, abbiamo che:
$sen^2(x) = (x - x^3/6 + o(x^4))^2 = x^2 + x^6/36 + o[(x^4)]^2 - x^4/3 + 2x * o(x^4) - x^3/3 * o(x^4)$
A questo punto il libro riporta che, per $x \to 0$, i seguenti addendi sono infinitesimi di ordine superiore a $x^5$ (sono quindi $o(x^5)$):
$x^6/36, [o(x^4)]^2, 2x * o(x^4), - x^3/3 * o(x^4)$
e perciò $sen^2(x) = x^2 - x^4/3 + o(x^5)$
A questo punto le mie domande sono:
1. Il ragionamento di considerare la $x \to 0$, e quindi "eliminare" alcuni addendi, vale in virtù del fatto che la formula di Taylor nasce con lo scopo di approssimare una funzione solo locamente e quindi solo per un $x \to x_0$, dove in questo caso $x_0 = 0$?
2. Perchè si è scelto proprio $o(x^5)$ come metro di paragone?
3. Se è vero che $2x * o(x^4) = o(x^5)$ allora perchè quel prodotto è ugualmente considerato un infinitesimo di ordine superiore rispetto a $o(x^5)$?
Vi ringrazio anticipatamente e vi chiedo di avere pazienza
Risposte
1. Il $sen\ x$ lo puoi approssimare con Taylor in qualunque punto vuoi tu. Però se scegli lo zero viene fuori una formula pulita e semplice. In altri punti la formula che esce non è semplice, ma si può fare lo stesso. Non si capisce bene dove vuoi arrivare.
2. Se intendi perchè non hanno scelto $o(x^(21))$ è per non farti fare una marea di calcoli poco utili ai fini didattici. Se intendi perchè hanno messo $o(x^5)$ invece di $o(x^4)$, la risposta è che tutti due i modi sono corretti. Siccome però di termini "alla quinta" non ce ne sono, è più elegante mettere $o(x^5)$. L'importante è capire che andava bene anche $o(x^4)$.
3. Non ti resta che fare una prova: prendi un termine che sia $o(x^4)$ . Lo moltiplichi per $2x$ e verifichi che sia $o(x^5)$. Da qui dovresti essere convinto che $2x\ o(x^4)=o(x^5)$.
2. Se intendi perchè non hanno scelto $o(x^(21))$ è per non farti fare una marea di calcoli poco utili ai fini didattici. Se intendi perchè hanno messo $o(x^5)$ invece di $o(x^4)$, la risposta è che tutti due i modi sono corretti. Siccome però di termini "alla quinta" non ce ne sono, è più elegante mettere $o(x^5)$. L'importante è capire che andava bene anche $o(x^4)$.
3. Non ti resta che fare una prova: prendi un termine che sia $o(x^4)$ . Lo moltiplichi per $2x$ e verifichi che sia $o(x^5)$. Da qui dovresti essere convinto che $2x\ o(x^4)=o(x^5)$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo