Sviluppo di fourier di una funzione in $L^2(S_1) subset RR^3

[Nebula2]

supponiamo di avere una funzione definita sulla sfera, scritta in coordinate polari $f(phi,theta), phi in (-pi/2, pi/2), theta in [0,2 pi]$.
ho letto che il suo sviluppo è $sum_{n=0}^oo sum_{k=0}^n f_{n,k}(phi)(a_{n,k} cos (k phi) + b_{n,k} sin (k phi))$.
non capisco come ci si arrivi, io avrei detto $sum_{n=0}^oo f_n(phi)(a_n cos (n phi) + b_n sin (n phi))$.

è solo un riordinamento? se sì dove può portare questa notazione?
sennò... che mi sono perso?

[Eredir]

"Nebula":supponiamo di avere una funzione definita sulla sfera, scritta in coordinate polari $f(phi,theta), phi in (-pi/2, pi/2), theta in [0,2 pi]$.
ho letto che il suo sviluppo è $sum_{n=0}^oo sum_{k=0}^n f_{n,k}(phi)(a_{n,k} cos (k phi) + b_{n,k} sin (k phi))$.
non capisco come ci si arrivi, io avrei detto $sum_{n=0}^oo f_n(phi)(a_n cos (n phi) + b_n sin (n phi))$.

è solo un riordinamento? se sì dove può portare questa notazione?
sennò... che mi sono perso?

Scritte così devono essere entrambe sbagliate, visto che non c'è dipendenza da $\theta$. Sospetto che però nella tua prima formula la dipendenza sia sepolta nei coefficienti, visto che assomiglia molto allo sviluppo in armoniche sferiche.

[Nebula2]

"Eredir":
Scritte così devono essere entrambe sbagliate, visto che non c'è dipendenza da $\theta$. Sospetto che però nella tua prima formula la dipendenza sia sepolta nei coefficienti, visto che assomiglia molto allo sviluppo in armoniche sferiche.

hai perfettamente ragione, ho sbagliato nello scrivere.
riscrivo le due formule:
(1) $sum_{n=0}^oo sum_{k=0}^n f_{n,k}(phi)(a_{n,k} cos (k theta) + b_{n,k} sin (k theta))$.
(2) $sum_{n=0}^oo f_n(phi)(a_n cos (n theta) + b_n sin (n theta))$.

ho avuto questo problema studiando appunto le armoniche sferiche, cercando una funzione armonicha nella palla unitaria che abbia $f$ come dato al bordo su $S_1$.
questa $f in L^"(S_1)$ dovrebbe appunto avere (1) come sviluppo di fourier. la mia domanda era: il suo sviluppo non dovrebbe invece essere (2)? sono la stessa cosa?

[Eredir]

"Nebula":hai perfettamente ragione, ho sbagliato nello scrivere.
riscrivo le due formule:
(1) $sum_{n=0}^oo sum_{k=0}^n f_{n,k}(phi)(a_{n,k} cos (k theta) + b_{n,k} sin (k theta))$.
(2) $sum_{n=0}^oo f_n(phi)(a_n cos (n theta) + b_n sin (n theta))$.

ho avuto questo problema studiando appunto le armoniche sferiche, cercando una funzione armonicha nella palla unitaria che abbia $f$ come dato al bordo su $S_1$.
questa $f in L^"(S_1)$ dovrebbe appunto avere (1) come sviluppo di fourier. la mia domanda era: il suo sviluppo non dovrebbe invece essere (2)? sono la stessa cosa?

Penso a questo punto possa essere semplicemente un problema di nomenclatura.
Per serie di Fourier tu intendi uno sviluppo in termini di coseni e seni (oppure esponenziali complessi), mentre magari il testo che cita la (1) intende serie di Fourier nel senso più generale di sviluppo in termini di funzioni ortogonali. Chiaramente entrambi sono metodi leciti per sviluppare una funzione. In ogni caso, per essere sicuri della correttezza delle due forme, bisognerebbe vedere come sono definiti i coefficienti dei due sviluppi.