Sviluppo asintotico
Ciao a tutti,
sto cercando di risolvere un esercizio che mi chiede, data una funzione, di calcolare lo sviluppo asintotico per $x->oo$ in potenze positive e negative di $x$ e con una precisione $o(1/x)$.
La funzione data è la seguente:
$f(x)=(x^3+x+1)/(x^2+x-2)$
la mia idea è stata di dividere la funzione in questo modo:
$x^3/(x^2+x-2)+2/(3*(x-1))+1/(3*(x-2))$
e dopo calcolare gli sviluppi singolarmente e alla fine sommarli tutti e tre.. Ma onestamente mi sembra troppo macchinoso..
Qualcuno saprebbe aiutarmi? Grazie a tutti.
Ciao ciao.
sto cercando di risolvere un esercizio che mi chiede, data una funzione, di calcolare lo sviluppo asintotico per $x->oo$ in potenze positive e negative di $x$ e con una precisione $o(1/x)$.
La funzione data è la seguente:
$f(x)=(x^3+x+1)/(x^2+x-2)$
la mia idea è stata di dividere la funzione in questo modo:
$x^3/(x^2+x-2)+2/(3*(x-1))+1/(3*(x-2))$
e dopo calcolare gli sviluppi singolarmente e alla fine sommarli tutti e tre.. Ma onestamente mi sembra troppo macchinoso..
Qualcuno saprebbe aiutarmi? Grazie a tutti.
Ciao ciao.
Risposte
Se fai una divisione fra polinomi ottieni
\[ f(x) = x-1 + \frac{4x-1}{x^2+x-2} = x-1+\frac{4}{x} + o(\frac{1}{x}).\]
\[ f(x) = x-1 + \frac{4x-1}{x^2+x-2} = x-1+\frac{4}{x} + o(\frac{1}{x}).\]
Hai ragione, non avevo pensato a fare una divisione tra polinomi..
Adesso però ho un altro dubbio, io eseguo la mia divisione e ottengo:
$x-1+(4x-1)/(x^2+x-2)$
poi divido:
$(4x-1)/(x^2+x-2)$ in $(4x)/(x^2+x-2)-1/(x^2+x-2)$
calcolo lo sviluppo di $(4x)/(x^2+x-2)$
e mi viene $4/x*(1+1/x-2/x^2)^-1$
sostituisco $1/x-2/x^2 $ con t.
calcolo lo sviluppo di $(1+t)^\alpha$ e alla fine mi risulta:
$4/x+o(1/x)$
Il problema sorge quando devo calcolare lo sviluppo di $1/(x^2+x-2)$, ovvero come faccio ad avere un $o(1/x)$ ?
Scusami per questo poema ma è per capire
Grazie, ciao ciao.
Adesso però ho un altro dubbio, io eseguo la mia divisione e ottengo:
$x-1+(4x-1)/(x^2+x-2)$
poi divido:
$(4x-1)/(x^2+x-2)$ in $(4x)/(x^2+x-2)-1/(x^2+x-2)$
calcolo lo sviluppo di $(4x)/(x^2+x-2)$
e mi viene $4/x*(1+1/x-2/x^2)^-1$
sostituisco $1/x-2/x^2 $ con t.
calcolo lo sviluppo di $(1+t)^\alpha$ e alla fine mi risulta:
$4/x+o(1/x)$
Il problema sorge quando devo calcolare lo sviluppo di $1/(x^2+x-2)$, ovvero come faccio ad avere un $o(1/x)$ ?
Scusami per questo poema ma è per capire
Grazie, ciao ciao.
Più semplicemente:
\[\frac{4x-1}{x^2+x-2} = \frac{4x(1-1/(4x))}{x^2(1+1/x-2/x^2)} = \frac{4}{x} \cdot \frac{1-1/(4x)}{1+1/x-2/x^2}.\]
L'ultima frazione vedi subito che è \( 1 + o(1)\).
\[\frac{4x-1}{x^2+x-2} = \frac{4x(1-1/(4x))}{x^2(1+1/x-2/x^2)} = \frac{4}{x} \cdot \frac{1-1/(4x)}{1+1/x-2/x^2}.\]
L'ultima frazione vedi subito che è \( 1 + o(1)\).
Grazie e mille! Mi stavo complicando la vita inutilmente!
Ciao ciao.
Ciao ciao.
Ciao,
un'ultima domandina per calcolare l'asintoto obliquo di questa funzione devo poter scrivere la funzione (se il limite per $x->+oo$ cresce linearmente) come:
$f(x)=ax+b+o(1)$
è lecito dire che la mia $f(x)$ è:
$f(x)=x-1+o(1)$
e di conseguenza che ho un asintoto obliquo:
$y=x-1$
oppure è tutta una mia fantasiosa deduzione?
un'ultima domandina per calcolare l'asintoto obliquo di questa funzione devo poter scrivere la funzione (se il limite per $x->+oo$ cresce linearmente) come:
$f(x)=ax+b+o(1)$
è lecito dire che la mia $f(x)$ è:
$f(x)=x-1+o(1)$
e di conseguenza che ho un asintoto obliquo:
$y=x-1$
oppure è tutta una mia fantasiosa deduzione?
E' corretto.
Grazie ancora
Ciao ciao.
Ciao ciao.
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