Sviluppo asintotico

[Raffa851]

$ f (x) = (x^3 +x+1)/(x^2 -x-2) $
Data la funzione devo determinare lo sviluppoasintotico per $ x-> +infty $ e con precisione $ o (x^-1) $
Ho riscritto la funzione Come prodotto quindi
$ (x^3+x+1)*(1/(x^2-x-2)) $
Ho raccolto il termine dominante per utilizzare gli sviluppi notevoli
$ x^3 (1+x^-2+x^-3)*(1/((x^2)(1-x^-1-2x^-2))) $
Ho fatto due cambi di variabile
$ t=x^-2+x^-3 $
$ p=x^-1+2x^-2 $
Quindi
$ x^3*(1+t)*x^-2*(1/(1-p)) $
t e p tendono a 0 quindi posso utilizzare gli sviluppi notevoli ma non riesco a sviluppare alla precisione richiesta
Sto sbagliando metodo?

[spugna2]

"Raffa85": $ x^3*(1+t)*x^-2*(1/(1-p)) $
t e p tendono a 0 quindi posso utilizzare gli sviluppi notevoli ma non riesco a sviluppare alla precisione richiesta

Il termine $1+t$ è già una serie di potenze, quindi devi preoccuparti solo di $1/(1-p)$.

Detto questo, puoi riscrivere quell'espressione come $x(1+t)*1/(1-p)=x(1+x^(-2)+x^(-3))(1+p+p^2+p^3+...)$: trovare lo sviluppo fino a $x^(-1)$ equivale a trovare lo sviluppo di $(1+x^(-2)+x^(-3))(1+p+p^2+p^3+...)$ fino a $x^(-2)$, e per farlo basta conoscere lo sviluppo fino a $x^(-2)$ dei singoli fattori, quindi:

-puoi troncare il primo fattore a $1+x^(-2)$;
-nel secondo fattore, $p$ è un "multiplo" di $x^(-1)$, quindi tutte le potenze a partire da $p^3$, se sviluppate come potenze di binomi, danno solo termini $O(x^(-3))$ che non ti interessano.

In conclusione, basta calcolare $(1+x^(-2))(1+p+p^2)=(1+x^(-2))(1+(x^(-1)+2x^(-2))+(x^(-2)+o(x^(-2)))=$
$=(1+x^(-2))(1+x^(-1)+3x^(-2))+o(x^(-2))=1+x^(-1)+4x^(-2)+o(x^(-2))$

e ricordando che c'era anche un fattore $x$, il risultato finale è $x+1+4x^(-1)+o(x^(-1))$.

"Raffa85":Sto sbagliando metodo?

No, comunque ce ne sono altri che a volte risultano più veloci, ad esempio potevi:

- ricavare un termine alla volta tramite delle divisioni euclidee:

$(x^3+x+1)/(x^2-x-2)=x+1+(4x+3)/(x^2-x-2)=x+1+1/x*(4x^2+3x)/(x^2-x-2)=x+1+1/x(4+(7x+8)/(x^2-x-2))=$
$=x+1+4x^(-1)+o(x^(-1))$

- scomporre il denominatore e riscrivere $1/(x^2-x-2)$ come $1/3 (1/(x-2)-1/(x+1))$, il cui sviluppo è immediato, e poi concludere come prima.