Sviluppi taylor con resto di Peano, dubbio!
Salve a tutti. Ho un dubbio negli sviluppi di taylor soprattutto per quanto riguarda seno e coseno. Ad esempio nello sviluppo del seno di primo ordine posso scrivere: x+o(x)? Ho questo dubbio perchè negli sviluppi del seno la mia prof non mette mai l'o piccolo dello stesso grado dell'ultimo elemento del polinomio ma mette per esempio x+o(x^2). Questo mio dubbio è alimentato ancor di più dalla esplicitazione da parte del mio libro dove,dopo aver elencato i primi elementi del seno mette una formula finale dove nell'o piccolo c'è x elevato alla 2n+2 quindi sempre superiore di un grado all'ultimo elemento del polinomio.
Grazie
Grazie
Risposte
"FELPONE":
Salve a tutti. Ho un dubbio negli sviluppi di taylor soprattutto per quanto riguarda seno e coseno. Ad esempio nello sviluppo del seno di primo ordine posso scrivere: x+o(x)? Ho questo dubbio perchè negli sviluppi del seno la mia prof non mette mai l'o piccolo dello stesso grado dell'ultimo elemento del polinomio ma mette per esempio x+o(x^2). Questo mio dubbio è alimentato ancor di più dalla esplicitazione da parte del mio libro dove,dopo aver elencato i primi elementi del seno mette una formula finale dove nell'o piccolo c'è x elevato alla 2n+2 quindi sempre superiore di un grado all'ultimo elemento del polinomio.
Grazie
Semplice... Perché lo sviluppo del seno "salta" le potenze di grado pari.
Quindi
$sin(x) = x + o(x)$
Sviluppando ancora un termine...
$sin(x) = x + o(x^2)$ (il termine $x^2$ ha coefficiente nullo)
.. Ancora ...
$sin(x) = x - x^3/6 + o(x^3)$
Chiaro?
Quindi niente mi vieta come hai scritto tu di sviluppare il seno ed avere un o piccolo con esponete dispari x^3 come nel tuo esempio?Il fatto è che la formula ennesima nell'esplicitazione dello sviluppo del seno porta sempre a creare un o piccolo pari e non dispari. So che la formula è giusta e sono io che interpreto male...ma ancora non afferro.Grazie
Diciamo che
$sin(x) = x + o(x)$ ma anche $sin(x) = x + o(x^2)$.
Dipende se lo vedi sviluppato al prim'ordine o al second'ordine.
Continua ad esserti oscuro?
$sin(x) = x + o(x)$ ma anche $sin(x) = x + o(x^2)$.
Dipende se lo vedi sviluppato al prim'ordine o al second'ordine.
Continua ad esserti oscuro?
Ok allora è chiaro, ma mi potreste spiegare allora il significato di questa formula dello sviluppo del seno?...
$ (-1)^(n) (x)^(2n+1) // (2n+1)! + o(x)^(2n+2) $ in questa formula l'o piccolo viene sempre di grado maggiore di uno (formula presa da libro)
mentre in questa (data dalla prof.) $ (-1)^(n) (x)^(2n+1) // (2n+1)! + o(x)^(2n+1) $ il grado dell'o piccolo è uguale all'ultimo monomio dello sviluppo.
Sono entrambe corrette le formule??
$ (-1)^(n) (x)^(2n+1) // (2n+1)! + o(x)^(2n+2) $ in questa formula l'o piccolo viene sempre di grado maggiore di uno (formula presa da libro)
mentre in questa (data dalla prof.) $ (-1)^(n) (x)^(2n+1) // (2n+1)! + o(x)^(2n+1) $ il grado dell'o piccolo è uguale all'ultimo monomio dello sviluppo.
Sono entrambe corrette le formule??
Ciao FELPONE:
Lo sviluppo di Taylor del seno è questo:
$sin x = x - x^3/3 + x^5/5 +...+ (-1)^k * (x^(2k+1))/((2k+1)!) + o(x^(2k+2))$
che possiamo anche scrivere così:
$ sum_(n = 0)^(+oo) ((-1)^n)/((2n+1)!) * x^(2n+1) $
Infatti ti invito a riflettere su quanto segue:
$D^(n)(sin x) _(|x=0) = {( 0, n=2k),( (-1)^k, n=2k+1):} $
Cioè la derivata n-esima del seno, tu ben sai che vale $+- sin$ se $n$ è pari (appunto $n=2k$); mentre vale $+- cos$ se $n$ è dispari ($n=2k+1$);
ma in $x= 0$, la derivata n-esima del seno varrà $0$ se $n$ è pari (poiché $+-sin 0 = 0$); mentre varrà $+- 1$ ($= (-1)^k$) se $n$ è dispari (poiché $+-cos 0 = +-1$).
Tutto chiaro fin qui?
Ora dovrebbe esserti chiara anche la questione dell'ultimo termine.
Lo sviluppo di Taylor del seno è questo:
$sin x = x - x^3/3 + x^5/5 +...+ (-1)^k * (x^(2k+1))/((2k+1)!) + o(x^(2k+2))$
che possiamo anche scrivere così:
$ sum_(n = 0)^(+oo) ((-1)^n)/((2n+1)!) * x^(2n+1) $
Infatti ti invito a riflettere su quanto segue:
$D^(n)(sin x) _(|x=0) = {( 0, n=2k),( (-1)^k, n=2k+1):} $
Cioè la derivata n-esima del seno, tu ben sai che vale $+- sin$ se $n$ è pari (appunto $n=2k$); mentre vale $+- cos$ se $n$ è dispari ($n=2k+1$);
ma in $x= 0$, la derivata n-esima del seno varrà $0$ se $n$ è pari (poiché $+-sin 0 = 0$); mentre varrà $+- 1$ ($= (-1)^k$) se $n$ è dispari (poiché $+-cos 0 = +-1$).
Tutto chiaro fin qui?
Ora dovrebbe esserti chiara anche la questione dell'ultimo termine.
Ok il ragionamento mi è chiarissimo grazie. Ma c'è ancora il solito fatto....cerco di spiegarmi meglio....
utilizzando il primo sviluppo del seno che hai scritto avremo sempre un o( $ (x)^(2k+2) $ ) quindi non avrò mai $ sin x=x-x^(3) // 3!+o(x)^(3) $ ma avrò $ sin x=x-x^(3) // 3!+o(x)^(4) $ e proprio questo che non mi è chiaro!!
utilizzando il primo sviluppo del seno che hai scritto avremo sempre un o( $ (x)^(2k+2) $ ) quindi non avrò mai $ sin x=x-x^(3) // 3!+o(x)^(3) $ ma avrò $ sin x=x-x^(3) // 3!+o(x)^(4) $ e proprio questo che non mi è chiaro!!
Ok il ragionamento mi è chiarissimo grazie. Ma c'è ancora il solito fatto....cerco di spiegarmi meglio....
utilizzando il primo sviluppo del seno che hai scritto avremo sempre un o( $ (x)^(2k+2) $ ) quindi non avrò mai $ sin x=x-x^(3) // 3!+o(x)^(3) $ ma avrò $ sin x=x-x^(3) // 3!+o(x)^(4) $ e proprio questo che non mi è chiaro!![/quote]
utilizzando il primo sviluppo del seno che hai scritto avremo sempre un o( $ (x)^(2k+2) $ ) quindi non avrò mai $ sin x=x-x^(3) // 3!+o(x)^(3) $ ma avrò $ sin x=x-x^(3) // 3!+o(x)^(4) $ e proprio questo che non mi è chiaro!![/quote]
"FELPONE":
Ok il ragionamento mi è chiarissimo grazie. Ma c'è ancora il solito fatto....cerco di spiegarmi meglio....
utilizzando il primo sviluppo del seno che hai scritto avremo sempre un o( $ (x)^(2k+2) $ ) quindi non avrò mai $ sin x=x-x^(3) // 3!+o(x)^(3) $ ma avrò $ sin x=x-x^(3) // 3!+o(x)^(4) $ e proprio questo che non mi è chiaro!!
Anzitutto quella scrittura è sbagliata. Non è $o(x)^n$ ma è $o(x^n)$, ciò che intendi tu.
Non è vero che non avrai mai $ sin x = x - x^(3)/(3!) +o(x^(3)) $
Ma è indifferente se come resto di Peano tu prendi $o(x^3)$ o $o(x^4)$, in virtù della questione che ti abbiamo spiegato.
Se vuoi verificare la giustezza di:
$ sin x = x - x^(3)/(3!) +o(x^(3)) $ , basta utilizzare la definizione di o-piccolo.
$lim_(x -> 0) (sin(x) - x + x^3/6 )/x^3 = 0$
ma è vera anche $ sin x = x - x^(3)/(3!) +o(x^(4)) $, infatti:
$lim_(x -> 0) (sin(x) - x + x^3/6 )/x^4 = 0$
Ok grazie della dimostrazione siete stati molto gentili e pazienti.
[quote=Mathcrazy]Ciao FELPONE:
Lo sviluppo di Taylor del seno è questo:
$sin x = x - x^3/3 + x^5/5 +...+ (-1)^k * (x^(2k+1))/((2k+1)!) + o(x^(2k+2))$
Però sfido chiunque a sostituire un qualsiasi valore a k in questa formula e si vedrà che sempre avrà un o piccolo più grande di un grado rispetto all'ultimo termine della successione.....era questo che m rendeva perplesso
Lo sviluppo di Taylor del seno è questo:
$sin x = x - x^3/3 + x^5/5 +...+ (-1)^k * (x^(2k+1))/((2k+1)!) + o(x^(2k+2))$
Però sfido chiunque a sostituire un qualsiasi valore a k in questa formula e si vedrà che sempre avrà un o piccolo più grande di un grado rispetto all'ultimo termine della successione.....era questo che m rendeva perplesso
Ma infatti, puoi prenderlo sempre di uno più grande, vai tranquillo.
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