Sviluppi di Taylor...problema con gli o piccoli
Salve ragazzi... volevo porvi un quesito...
Quando vado a risolvere limiti per confronti asintotici, bene o male essi mi riescono, ma sono sempre in dubbio sulla questione degli o piccolo.
Il mio libro, ad esempio, nello svolgimento del limite $ lim_(x->0) (arcsinsqrtx -sqrtx)/(xsqrtx) $
scrive lo sviluppo dell'arcsin come $ arcsinsqrtx= sqrtx + (xsqrtx)/6 + o(x^2) $
Perchè scrive $ o(x^2) $ ? Non dovrebbe essere $ o(xsqrtx) $ ?
Potete chiarirmi questa cosa? E' un problema di fronte al quale mi ritrovo spesso, anche quando svolgo limiti più complicati in cui spesso seguendo le tavole degli sviluppi di taylor-mc laurin mi trovo $ o(sin^2(x)) $ oppure $ o(arctgx) $
Come funziona?
Quando vado a risolvere limiti per confronti asintotici, bene o male essi mi riescono, ma sono sempre in dubbio sulla questione degli o piccolo.
Il mio libro, ad esempio, nello svolgimento del limite $ lim_(x->0) (arcsinsqrtx -sqrtx)/(xsqrtx) $
scrive lo sviluppo dell'arcsin come $ arcsinsqrtx= sqrtx + (xsqrtx)/6 + o(x^2) $
Perchè scrive $ o(x^2) $ ? Non dovrebbe essere $ o(xsqrtx) $ ?
Potete chiarirmi questa cosa? E' un problema di fronte al quale mi ritrovo spesso, anche quando svolgo limiti più complicati in cui spesso seguendo le tavole degli sviluppi di taylor-mc laurin mi trovo $ o(sin^2(x)) $ oppure $ o(arctgx) $
Come funziona?
Risposte
Parto da un esempio più semplice. Queste uguaglianze asintotiche sono entrambe corrette:
\[
\sin x = x + o(x),\quad \sin x = x + o(x^2),\qquad x\to 0.
\]
Lo si verifica immediatamente con la definizione, oppure ricordando che nello sviluppo di Mac Laurin del seno non compare il termine in \(x^2\) (vale a dire, il coefficiente di tale termine è nullo); lo sviluppo di Mac Laurin del seno al secondo ordine è dunque
\[
\sin x = x + 0\cdot x^2 + o(x^2),\qquad x\to 0,
\]
vale a dire la seconda relazione scritta sopra.
Analogamente, nello sviluppo di \(\arcsin\) compaiono solo potenze di ordine dispari; puoi quindi scrivere sia
\[
\arcsin t = t + \frac{t^3}{6} + o (t^3), \qquad t \to 0
\]
se sviluppi al terzo ordine, che
\[
\arcsin t = t + \frac{t^3}{6} + o (t^4), \qquad t \to 0,
\]
se sviluppi al quarto ordine.
Per ottenere lo sviluppo che hai scritto devi usare questa seconda forma, ovviamente con \(t = \sqrt{x}\).
\[
\sin x = x + o(x),\quad \sin x = x + o(x^2),\qquad x\to 0.
\]
Lo si verifica immediatamente con la definizione, oppure ricordando che nello sviluppo di Mac Laurin del seno non compare il termine in \(x^2\) (vale a dire, il coefficiente di tale termine è nullo); lo sviluppo di Mac Laurin del seno al secondo ordine è dunque
\[
\sin x = x + 0\cdot x^2 + o(x^2),\qquad x\to 0,
\]
vale a dire la seconda relazione scritta sopra.
Analogamente, nello sviluppo di \(\arcsin\) compaiono solo potenze di ordine dispari; puoi quindi scrivere sia
\[
\arcsin t = t + \frac{t^3}{6} + o (t^3), \qquad t \to 0
\]
se sviluppi al terzo ordine, che
\[
\arcsin t = t + \frac{t^3}{6} + o (t^4), \qquad t \to 0,
\]
se sviluppi al quarto ordine.
Per ottenere lo sviluppo che hai scritto devi usare questa seconda forma, ovviamente con \(t = \sqrt{x}\).
Ok, ho capito. Vi pongo un altro esempio:
In un esercizio mi è capitato di dover scrivere lo sviluppo di $ e^(senx) - e^(arctgx) $
$ e^(senx)= 1 + senx + (sen^2x)/2 + o(sen^2x) $
quindi
$ e^(senx)= 1 + x - x^3/6 + o(x^4) + (x-x^3/6 + o(x^4))^2/2 + o(sen^2x) $
Essendo $ e^(senx) - e^(arctgx) $ il numeratore dell'argomento di un limite per x->0 (contano quindi le potenze più basse che non si annullano detto in soldoni)
come scrivereste alla fine $ e^(senx) - e^(arctgx) $ ?
In un esercizio mi è capitato di dover scrivere lo sviluppo di $ e^(senx) - e^(arctgx) $
$ e^(senx)= 1 + senx + (sen^2x)/2 + o(sen^2x) $
quindi
$ e^(senx)= 1 + x - x^3/6 + o(x^4) + (x-x^3/6 + o(x^4))^2/2 + o(sen^2x) $
Essendo $ e^(senx) - e^(arctgx) $ il numeratore dell'argomento di un limite per x->0 (contano quindi le potenze più basse che non si annullano detto in soldoni)
come scrivereste alla fine $ e^(senx) - e^(arctgx) $ ?
Tieni conto del fatto che \(o(\sin^2 x) = o(x^2)\), quindi una volta che compare quello è inutile trascinarsi appresso potenze di \(x\) più alte di \(2\).
Se fai le cose per bene ottieni
\[
e^{\sin x} = 1 + x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{8} + o(x^4)
\]
e
\[
e^{\arctan x} = 1 + x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6}- \frac{7 x^4}{24} + o(x^4).
\]
Ad esempio, per ottenere la prima puoi scrivere
\[
e^{\sin x} = e^{x - x^3/6 + o(x^4)} = 1 + [x - x^3/3 + o(x^4)] + \frac{1}{2} [x - x^3/6 + o(x^4)]^2 + \frac{1}{6}[x - x^3/6 + o(x^4)]^3 + \frac{1}{24}[x - x^3/6 + o(x^4)]^4.
\]
Vedi subito che a secondo membro l'o-piccolo principale è \(o(x^4)\); ti scrivi quello e sviluppi tutte le potenze delle parentesi quadre tenendo conto che tutti gli altri o-piccolo e tutte le potenze \(x^k\) con \(k>4\) sono da buttare (in quanto già inclusi in \(o(x^4)\)):
\[
e^{\sin x} = o(x^4) + 1 + x - x^3/6 + \frac{1}{2} [x^2 - 2 x^4/6] + \frac{1}{6}[x^3] + \frac{1}{24}[x^4]
\]
Se fai le cose per bene ottieni
\[
e^{\sin x} = 1 + x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{8} + o(x^4)
\]
e
\[
e^{\arctan x} = 1 + x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6}- \frac{7 x^4}{24} + o(x^4).
\]
Ad esempio, per ottenere la prima puoi scrivere
\[
e^{\sin x} = e^{x - x^3/6 + o(x^4)} = 1 + [x - x^3/3 + o(x^4)] + \frac{1}{2} [x - x^3/6 + o(x^4)]^2 + \frac{1}{6}[x - x^3/6 + o(x^4)]^3 + \frac{1}{24}[x - x^3/6 + o(x^4)]^4.
\]
Vedi subito che a secondo membro l'o-piccolo principale è \(o(x^4)\); ti scrivi quello e sviluppi tutte le potenze delle parentesi quadre tenendo conto che tutti gli altri o-piccolo e tutte le potenze \(x^k\) con \(k>4\) sono da buttare (in quanto già inclusi in \(o(x^4)\)):
\[
e^{\sin x} = o(x^4) + 1 + x - x^3/6 + \frac{1}{2} [x^2 - 2 x^4/6] + \frac{1}{6}[x^3] + \frac{1}{24}[x^4]
\]
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