Sviluppi di Taylor-Mac Laurin
Salve a tutti, vorrei sapere quando, nel calcolo degli sviluppi di Taylor-Mc Laurin, è possibile procedere allo sviluppo seguendo la tabella degli sviluppi notevoli (e quindi devo solamente sostituire l'argomento della funzione da sviluppare a quello dello sviluppo in tabella) e quando invece non posso farlo.
Per esempio:
Nel calcolare lo sviluppo delle funzioni $ f(x) = sin(x-1), g(x)=e^(x-1) $ centrate in $x_0=1$ basta semplicemente sostituire $(x-1)$ (cioè quello che io intendo per argomento) alla $x$ dello sviluppo notevole ma in altri casi sostituendo semplicemente non ottengo il risultato corretto. Perchè?
Forse perchè, dato un certo $x_0$, affinchè io possa utilizzare lo sviluppo da tabella devo accertarmi unicamente che l'argomento della funzione in $x_0$ sia $0$? Infatti ponendo $x=1$ a $ f(x) = sin(x-1), g(x)=e^(x-1) $ ottengo $0$ come argomento in entrambi i casi.
Forse non sono stato chiarissimo ma se volete chiedetemi ulteriori spiegazioni.
Per esempio:
Nel calcolare lo sviluppo delle funzioni $ f(x) = sin(x-1), g(x)=e^(x-1) $ centrate in $x_0=1$ basta semplicemente sostituire $(x-1)$ (cioè quello che io intendo per argomento) alla $x$ dello sviluppo notevole ma in altri casi sostituendo semplicemente non ottengo il risultato corretto. Perchè?
Forse perchè, dato un certo $x_0$, affinchè io possa utilizzare lo sviluppo da tabella devo accertarmi unicamente che l'argomento della funzione in $x_0$ sia $0$? Infatti ponendo $x=1$ a $ f(x) = sin(x-1), g(x)=e^(x-1) $ ottengo $0$ come argomento in entrambi i casi.
Forse non sono stato chiarissimo ma se volete chiedetemi ulteriori spiegazioni.
Risposte
Gli sviluppi notevoli di Mc Laurin riguardano il caso in cui Xo=0.
L'argomento delle funzioni notevoli è semplicemente X=Xo, quindi l'argomento vale 0.
Se l'argomento è diverso da X, puoi sostituire questo argomento alla X dello sviluppo preconfezionato SOLO SE questo argomento in funzione di X è 0 quando X=0.
Ad esempio, se abbiamo tg (x^3 - 2x^2):
quando x=0, x^3 - 2x^2 = 0, quindi puoi usare il classico sviluppo preconfezionato tgx = x + x^3/3 ...
che in tal caso diventa (x^3 - 2x^2) + (x^3 - 2x^2)^3 /3.
Invece tg(x^2 + 7) vale 7 quando X=0, quindi se vuoi lo sviluppo devi usare la formula generale con le derivate successive.
Che comunque non deve spaventarti, perché il fatto che X=0 ti semplifica almeno un po' i calcoli delle derivate.
L'argomento delle funzioni notevoli è semplicemente X=Xo, quindi l'argomento vale 0.
Se l'argomento è diverso da X, puoi sostituire questo argomento alla X dello sviluppo preconfezionato SOLO SE questo argomento in funzione di X è 0 quando X=0.
Ad esempio, se abbiamo tg (x^3 - 2x^2):
quando x=0, x^3 - 2x^2 = 0, quindi puoi usare il classico sviluppo preconfezionato tgx = x + x^3/3 ...
che in tal caso diventa (x^3 - 2x^2) + (x^3 - 2x^2)^3 /3.
Invece tg(x^2 + 7) vale 7 quando X=0, quindi se vuoi lo sviluppo devi usare la formula generale con le derivate successive.
Che comunque non deve spaventarti, perché il fatto che X=0 ti semplifica almeno un po' i calcoli delle derivate.
Va bene grazie:)
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