Sviluppi di Taylor in più variabili
Buongiorno a tutti,
Mi è venuto un dubbio sul metodo di calcolo degli sviluppi di Taylor in più variabili. Data \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) lo sviluppo di Taylor nel punto \(\mathbf{x}_0 \in \mathbb{R}^n\) è:
\[f(\mathbf{x}) = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \mathrm{d}^k f_{\mathbf{x}_0}(\mathbf{x} - \mathbf{x}_0) = f(\mathbf{x}_0) + \mathrm{d}f_{\mathbf{x}_0}(\mathbf{x} - \mathbf{x}_0) + \frac{1}{2}\mathrm{d}^2f_{\mathbf{x}_0}(\mathbf{x} - \mathbf{x}_0) + \dots\]
Ovvero:
\[f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}_0) + \nabla f(\mathbf{x}_0) \ (\mathbf{x} - \mathbf{x}_0) + \frac{1}{2}(\mathbf{x} - \mathbf{x}_0)^T \mathrm{H}f(\mathbf{x}_0) \ (\mathbf{x} - \mathbf{x}_0) + \dots\]
Ora, se data una \(f(x,y)\), mi viene chiesto di calcolare lo sviluppo ad un ordine elevato, diciamo 4, nel punto \(\mathbf{x}_0\), come mi devo comportare? Percorrere la via del calcolo esplicito tramite le derivate mi sembra improponibile. Forse si può fare con gli sviluppi annidati?
Qualche hint?
Grazie mille
Mi è venuto un dubbio sul metodo di calcolo degli sviluppi di Taylor in più variabili. Data \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) lo sviluppo di Taylor nel punto \(\mathbf{x}_0 \in \mathbb{R}^n\) è:
\[f(\mathbf{x}) = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \mathrm{d}^k f_{\mathbf{x}_0}(\mathbf{x} - \mathbf{x}_0) = f(\mathbf{x}_0) + \mathrm{d}f_{\mathbf{x}_0}(\mathbf{x} - \mathbf{x}_0) + \frac{1}{2}\mathrm{d}^2f_{\mathbf{x}_0}(\mathbf{x} - \mathbf{x}_0) + \dots\]
Ovvero:
\[f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}_0) + \nabla f(\mathbf{x}_0) \ (\mathbf{x} - \mathbf{x}_0) + \frac{1}{2}(\mathbf{x} - \mathbf{x}_0)^T \mathrm{H}f(\mathbf{x}_0) \ (\mathbf{x} - \mathbf{x}_0) + \dots\]
Ora, se data una \(f(x,y)\), mi viene chiesto di calcolare lo sviluppo ad un ordine elevato, diciamo 4, nel punto \(\mathbf{x}_0\), come mi devo comportare? Percorrere la via del calcolo esplicito tramite le derivate mi sembra improponibile. Forse si può fare con gli sviluppi annidati?
Qualche hint?
Grazie mille
Risposte
Secondo me non c'è molto altro da fare se non mettersi davanti al PC e lasciare che sia lui a fare tutti i contazzi. Io personalmente preferisco lasciar perdere quella formula e semplicemente valutare $f$ lungo un segmento per poi sviluppare la funzione di una sola variabile che ne risulta; ma anche così un po' di conti c'è da farli.
Ti ringrazio della risposta. Però, in pratica, non capisco come poter risolvere un quesito di questo tipo:
Che fare?
Calcolare lo sviluppo di Taylor al quarto ordine in $(0,0)$ della funzione:
\[f(x,y) = \cos{(e^x + y^2 -1)}\]
ricordando che \(\cos{x} = 1 - x^2/2 + x^4/24 + o(x^5)\)
Che fare?
Poni $t=e^x+y^2-1$: osserva che quando $(x,y)=(0,0)$ allora $t=0$. pertanto dallo sviluppo di McLaurin suggerito si ha
$$\cos t=1-\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{24}+o(t^4)$$
Adesso, puoi sviluppare $t$: dal momento che $e^x=1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/{24}+o(x^4)$ si ha
$$t=e^x+y^2-1=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)+y^2-1=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)+y^2$$
(non è necessario sviluppare la potenza di $y$ che, in un certo senso, è già sviluppata). Ora devi sostituire e calcolare le varie potenze: tuttavia puoi osservare che il massimo grado concesso per il polinomio che stai cercando è 4, per cui puoi "eliminare" a priori i termini non necessari (cioè quelli che, facendo le potenze di $t$ porterebbero a monomi in $x$ e $y$ con somma delle potenze maggiore di 4). Pertanto
$$\begin{align*}
\cos(e^x+y^2-1)=&1-\frac{1}{2}\left(x^2+\frac{x^4}{4}+y^4+2\cdot x\cdot\frac{x^2}{2}+2\cdot x\cdot\frac{x^3}{6}+2\cdot x\cdot y^2+2\cdot\frac{x^2}{2}\cdot y^2\right)\\
&+\frac{1}{24}\left(x^4\right)+o(t^4)\\ =&1-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{2}-xy^2-\frac{x^4}{4}-\frac{x^2 y^2}{2}-\frac{y^4}{2}+o(...)
\end{align*}$$
$$\cos t=1-\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{24}+o(t^4)$$
Adesso, puoi sviluppare $t$: dal momento che $e^x=1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/{24}+o(x^4)$ si ha
$$t=e^x+y^2-1=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)+y^2-1=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)+y^2$$
(non è necessario sviluppare la potenza di $y$ che, in un certo senso, è già sviluppata). Ora devi sostituire e calcolare le varie potenze: tuttavia puoi osservare che il massimo grado concesso per il polinomio che stai cercando è 4, per cui puoi "eliminare" a priori i termini non necessari (cioè quelli che, facendo le potenze di $t$ porterebbero a monomi in $x$ e $y$ con somma delle potenze maggiore di 4). Pertanto
$$\begin{align*}
\cos(e^x+y^2-1)=&1-\frac{1}{2}\left(x^2+\frac{x^4}{4}+y^4+2\cdot x\cdot\frac{x^2}{2}+2\cdot x\cdot\frac{x^3}{6}+2\cdot x\cdot y^2+2\cdot\frac{x^2}{2}\cdot y^2\right)\\
&+\frac{1}{24}\left(x^4\right)+o(t^4)\\ =&1-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{2}-xy^2-\frac{x^4}{4}-\frac{x^2 y^2}{2}-\frac{y^4}{2}+o(...)
\end{align*}$$
Grazie mille per l'aiuto. E' come sospettavo quindi, questo ragionamento lo facevo in una variabile ma non ero sicuro si potesse estendere a più variabili. Guardo meglio stasera quando ho tempo, grazie per la disponibilità.
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