Sviluppi di Taylor e resto di Peano
ciao a tutti ragazzi!
svolgendo gli esercizi di una dispensa mi sono sorti alcuni dubbi circa l'ordine da attribuire al resto di uno sviluppo troncato..
cerco di spiegarmi meglio
devo trovare lo sviluppo di ordine 6 della funzione:
$sin(x^2) - sinh(x^2)$
la dispensa ovviamente costruisce i due sviluppi e li sottrae, quindi:
$sin(x^2) - sinh(x^2) = (x^2 -(x^6)/3! + o(x^6) - ( x^2 + (x^6)/3! + o(x^6) )$
i resti sono dell'ordine 6, io ricordavo invece dovessero essere dell'ordine del primo termine omesso. in un primo momento non ho dato tanta importanza al 'fenomeno' pensando si trattasse di una dimenticanza.
in un esercizio seguente invece devo trovare lo sviluppo (fino ad ordine 12) di:
$e^(x^3) - 1 - sin(x^3)$
troncando all'ordine 3/4 lo sviluppo della funzione seno non riesco a troncare il resto all'ordine 12 (procedendo come nell'esercizio precedente)
la dispensa invece questa volta sviluppa in questo modo:
$e^(x^3) -1 -sin(x^3)= (1 + x^3 + (x^6)/2 + (x^9)/3! + (x^12)/4! + o(x^12)) -1 -( x^3 - (x^9)/3! + o(x^12))$
come potete vedere questa volta il resto dello sviluppo della funzione seno è dell'ordine del primo termine omesso, 12 e non 9 (seguendo la logica del precedente esercizio)!.. qualcuno riesce a spiegarmi questa ambiguità?
grazie in anticipo a tutti, non è nulla di difficile ma mi sta seriamente confondendo.
svolgendo gli esercizi di una dispensa mi sono sorti alcuni dubbi circa l'ordine da attribuire al resto di uno sviluppo troncato..
cerco di spiegarmi meglio
devo trovare lo sviluppo di ordine 6 della funzione:
$sin(x^2) - sinh(x^2)$
la dispensa ovviamente costruisce i due sviluppi e li sottrae, quindi:
$sin(x^2) - sinh(x^2) = (x^2 -(x^6)/3! + o(x^6) - ( x^2 + (x^6)/3! + o(x^6) )$
i resti sono dell'ordine 6, io ricordavo invece dovessero essere dell'ordine del primo termine omesso. in un primo momento non ho dato tanta importanza al 'fenomeno' pensando si trattasse di una dimenticanza.
in un esercizio seguente invece devo trovare lo sviluppo (fino ad ordine 12) di:
$e^(x^3) - 1 - sin(x^3)$
troncando all'ordine 3/4 lo sviluppo della funzione seno non riesco a troncare il resto all'ordine 12 (procedendo come nell'esercizio precedente)
la dispensa invece questa volta sviluppa in questo modo:
$e^(x^3) -1 -sin(x^3)= (1 + x^3 + (x^6)/2 + (x^9)/3! + (x^12)/4! + o(x^12)) -1 -( x^3 - (x^9)/3! + o(x^12))$
come potete vedere questa volta il resto dello sviluppo della funzione seno è dell'ordine del primo termine omesso, 12 e non 9 (seguendo la logica del precedente esercizio)!.. qualcuno riesce a spiegarmi questa ambiguità?
grazie in anticipo a tutti, non è nulla di difficile ma mi sta seriamente confondendo.
Risposte
"FrederichN.":
ciao a tutti ragazzi!
svolgendo gli esercizi di una dispensa mi sono sorti alcuni dubbi circa l'ordine da attribuire al resto di uno sviluppo troncato..
cerco di spiegarmi meglio
devo trovare lo sviluppo di ordine 6 della funzione:
$sin(x^2) - sinh(x^2)$
la dispensa ovviamente costruisce i due sviluppi e li sottrae, quindi:
$sin(x^2) - sinh(x^2) = (x^2 -(x^6)/3! + o(x^6) - ( x^2 + (x^6)/3! + o(x^6) )$
i resti sono dell'ordine 6, io ricordavo invece dovessero essere dell'ordine del primo termine omesso. in un primo momento non ho dato tanta importanza al 'fenomeno' pensando si trattasse di una dimenticanza.
in un esercizio seguente invece devo trovare lo sviluppo (fino ad ordine 12) di:
$e^(x^3) - 1 - sin(x^3)$
troncando all'ordine 3/4 lo sviluppo della funzione seno non riesco a troncare il resto all'ordine 12 (procedendo come nell'esercizio precedente)
la dispensa invece questa volta sviluppa in questo modo:
$e^(x^3) -1 -sin(x^3)= (1 + x^3 + (x^6)/2 + (x^9)/3! + (x^12)/4! + o(x^12)) -1 -( x^3 - (x^9)/3! + o(x^12))$
come potete vedere questa volta il resto dello sviluppo della funzione seno è dell'ordine del primo termine omesso, 12 e non 9 (seguendo la logica del precedente esercizio)!.. qualcuno riesce a spiegarmi questa ambiguità?
grazie in anticipo a tutti, non è nulla di difficile ma mi sta seriamente confondendo.
Cerco di rispondere, perchè come argomenti sono semplici, ma sembrano tagliati per confondere la gente (e credere che senza nemmeno i simboli di Landau, sarebbe ancor peggiore).
Allora, se provi ad approssimare con lo sviluppo di Mac Laurin (ovvero quello di Taylor centrato in $0$, lo dico perchè è bene precisare dove sono centrati questi sviluppi) $sin(x)$, noterai che gli esponenti del polinomio risultante, sono tutti dispari, questo perchè, periodicamente, la funzione si annullerà in corrispondenza delle voci con esponente pari. Quindi, in questo sviluppo, non potrai mai ottenere un polinomio di grado pari; ad ogni modo, impara a leggere il resto di Peano così: "la funzione si comporta come il polinomio $...$ in un intorno di $0$, più una sostanza infinitesima per $x->0$ che corre a $0$ più velocemente di $x^9$"(*), nel tuo caso. Ora, se tu al posto di 9 avessi scritto 12, avresti comunque detto una cosa giusta; questo lo capirai notando che scrivere:
$sin(x^3) = x^3 - (x^9)/3! + k*0^12 + o(x^12)$ per $x->0$ ($k$ è un coefficiente razionale scelto opportunamente secondo lo sviluppo)
equivale a dire la stessa cosa, allora puoi anche troncare a 12 il tuo sviluppo invece che a 9 e la (*) sarà una frase giusta lo stesso.
Capisco di non essere stato il massimo della chiarezza, chiedi pure ancora se vuoi.