Sviluppi di Taylor di funzioni non elementari,
Salve a tutti, sto preparando l'esame di Analisi I e mi ho trovato alcune difficoltà nella risoluzione di alcuni limiti attraverso l'uso di Taylor, il problema è il seguente:
dato il limite:
$lim_(x->0^+) (2arctanx+ln(1+x)-4x-x^2)/(x^\alpha(e^(2sqrtx)-1))$
calcolare il seguente limite al variare del parametro $\alpha$.
Io ho pensato di procedere in questo modo:
-Sviluppo al numeratore fino al grado 4, usando le funzioni elementari, e ottengo $(-x^4)/(4)+o(x^4)$ a questo punto il problema rimane il denominatore, io so che $(e^(2sqrtx)-1)$ è asintotico a $(2sqrtx)$ dai limiti notevoli, però sinceramente volevo capire come procedere con Taylor poichè non so bene come comportarmi quando ho una funzione e un polinomio.
Comunque io ho pensato di, sviluppare $e^x$ fino al quarto grado(grado del numeratore, forse è qua che ho sbaglaito?) e di semplificare ma ho ottenuto un risultato completamente diverso!
Infatti nel primo caso (con l'uso della stima asintotica,) ho ottenuto come "bandierina" $\alpha=7/2$, nel secondo caso ho ottenuto $\alpha=2$, il problema è che entrambi i risultati sono possibili, come capisco qual'è quello esatto? oppure dato che si tratta di stime sono entrambi esatti? per chiarire meglio scrivo i vari passaggi effettuati:
$y=2sqrtx$ quindi, $e^y=1+y+(y^2/(2!))+(y^3/(3!))+(y^4/(4!))+o(x^4)$ sostituendo, $e^(2sqrtx)=1+2sqrtx+((4x)/2!)+((8(sqrtx)^3)/3!)+((16x^2)/4)+o(x^4)$.
Ora considero il grado massimo sia al numeratore che al denominatore ottenendo quindi.
$(1/2)(x^4)(3/2)(x^-(\alpha+2))$ sommando le x ottengo:
$(3/4)(x^(2-\alpha))$ dove ricavo che la "bandierina" è $\alpha=2$ quindi poi dovrei studiare come si comporta il limite al variare del parametro, ma quale procedimento è esatto? a cosa è dovuta la differenza di valori?
Grazie in anticipo a chiunque risponda;
Simone.
dato il limite:
$lim_(x->0^+) (2arctanx+ln(1+x)-4x-x^2)/(x^\alpha(e^(2sqrtx)-1))$
calcolare il seguente limite al variare del parametro $\alpha$.
Io ho pensato di procedere in questo modo:
-Sviluppo al numeratore fino al grado 4, usando le funzioni elementari, e ottengo $(-x^4)/(4)+o(x^4)$ a questo punto il problema rimane il denominatore, io so che $(e^(2sqrtx)-1)$ è asintotico a $(2sqrtx)$ dai limiti notevoli, però sinceramente volevo capire come procedere con Taylor poichè non so bene come comportarmi quando ho una funzione e un polinomio.
Comunque io ho pensato di, sviluppare $e^x$ fino al quarto grado(grado del numeratore, forse è qua che ho sbaglaito?) e di semplificare ma ho ottenuto un risultato completamente diverso!
Infatti nel primo caso (con l'uso della stima asintotica,) ho ottenuto come "bandierina" $\alpha=7/2$, nel secondo caso ho ottenuto $\alpha=2$, il problema è che entrambi i risultati sono possibili, come capisco qual'è quello esatto? oppure dato che si tratta di stime sono entrambi esatti? per chiarire meglio scrivo i vari passaggi effettuati:
$y=2sqrtx$ quindi, $e^y=1+y+(y^2/(2!))+(y^3/(3!))+(y^4/(4!))+o(x^4)$ sostituendo, $e^(2sqrtx)=1+2sqrtx+((4x)/2!)+((8(sqrtx)^3)/3!)+((16x^2)/4)+o(x^4)$.
Ora considero il grado massimo sia al numeratore che al denominatore ottenendo quindi.
$(1/2)(x^4)(3/2)(x^-(\alpha+2))$ sommando le x ottengo:
$(3/4)(x^(2-\alpha))$ dove ricavo che la "bandierina" è $\alpha=2$ quindi poi dovrei studiare come si comporta il limite al variare del parametro, ma quale procedimento è esatto? a cosa è dovuta la differenza di valori?
Grazie in anticipo a chiunque risponda;
Simone.
Risposte
Ciao!
Ti faccio vedere come farei io (anche io sto preparando l'esame quindi consideralo un ragionamento, non la risposta esatta
)
http://img27.imageshack.us/img27/4933/2 ... 235014.jpg
Scusa ma ho preferito inserire l'immagine altrimenti ci mettevo ore a scrivere le formule.
Comunque il ragionamento di fondo è:
1) "Trasformo" il limite utilizzando gli sviluppi di maclaurin (come vedi ho esagerato un po' con il grado per evitare di sbagliare)
2) Elimino i termini trascurabili che sono quelli col grado più alto perchè x-->0
3) Studio il comportamento del limite al variare di a.
Comunque mi piacerebbe vedere cosa dice qualcuno più esperto di me
Ti faccio vedere come farei io (anche io sto preparando l'esame quindi consideralo un ragionamento, non la risposta esatta
)http://img27.imageshack.us/img27/4933/2 ... 235014.jpg
Scusa ma ho preferito inserire l'immagine altrimenti ci mettevo ore a scrivere le formule.
Comunque il ragionamento di fondo è:
1) "Trasformo" il limite utilizzando gli sviluppi di maclaurin (come vedi ho esagerato un po' con il grado per evitare di sbagliare)
2) Elimino i termini trascurabili che sono quelli col grado più alto perchè x-->0
3) Studio il comportamento del limite al variare di a.
Comunque mi piacerebbe vedere cosa dice qualcuno più esperto di me
"simop_075":
Ora considero il grado massimo sia al numeratore che al denominatore ottenendo quindi.
Penso potrebbe essere qui l'errore: siccome \(x\) tende a \(0\), i termini dominanti sono quelli di grado minore.
In particolare, se a numeratore rimane solo un \(x^4\) dopo tutte le semplificazioni, allora facendo variare \(\alpha\) puoi bilanciare o sbilanciare gli ordini di infinitesimo.
Chiaro?
A numeratore, procedi con Taylor. A denominatore, basta il confronto locale: infatti
$x^\alpha(e^{2\sqrt{x}}-1)\sim x^\alpha \cdot 2\sqrt{x}=2x^{\alpha+1/2}$
Ti faccio presente che la funzione a denominatore (tra parentesi) non è derivabile in $x=0$ e quindi lo sviluppo di Taylor in tale punto non ha senso.
$x^\alpha(e^{2\sqrt{x}}-1)\sim x^\alpha \cdot 2\sqrt{x}=2x^{\alpha+1/2}$
Ti faccio presente che la funzione a denominatore (tra parentesi) non è derivabile in $x=0$ e quindi lo sviluppo di Taylor in tale punto non ha senso.
Grazie a tutti per le celeri risposte!!
Effettivamente l'errore sta nel fatto che devo prendere i termini con grado più basso!
Infatti così facendo, al denominatore ho $2sqrtx$ che è proprio lo stesso risultato che ottenevo considerando i limiti notevili.
Altra cosa, che la funzione non sia derivabile in x=0 ok, ma io sto considerando x che tende a 0 e comunque x tende a$0^+$ quindi derivabile(esiste il rapporto incrementale destro).
Detto questo altra considerazione, avevo sbagliato il testo poichè anche ln era moltiplicato per 2!
Mi rimane però un ultimo dubbio, per quanto riguarda il denominatore io avrei potuto fermarmi anche al grado 1.
Per stabilirlo avrei dovuto fare quale di questi ragionamenti?
a) visto che ho sviluppato fino al 4° grado il numeratore sviluppo anche al 4°grado il denominatore così gli opiccoli si semplificano.
b) visto che poi devo fare una stima non considero il grado del denominatore, tanto so che devo prendere quello con tarmine più basso che quindi sicuramente sarà quello di grado 1!
c)nessuno di questi!
altra cosa, se faccio la stima, considero i gradi minimi quindi gli opiccoli non li considero?
Grazie a tutti,
Simone.
Effettivamente l'errore sta nel fatto che devo prendere i termini con grado più basso!
Infatti così facendo, al denominatore ho $2sqrtx$ che è proprio lo stesso risultato che ottenevo considerando i limiti notevili.
Altra cosa, che la funzione non sia derivabile in x=0 ok, ma io sto considerando x che tende a 0 e comunque x tende a$0^+$ quindi derivabile(esiste il rapporto incrementale destro).
Detto questo altra considerazione, avevo sbagliato il testo poichè anche ln era moltiplicato per 2!
Mi rimane però un ultimo dubbio, per quanto riguarda il denominatore io avrei potuto fermarmi anche al grado 1.
Per stabilirlo avrei dovuto fare quale di questi ragionamenti?
a) visto che ho sviluppato fino al 4° grado il numeratore sviluppo anche al 4°grado il denominatore così gli opiccoli si semplificano.
b) visto che poi devo fare una stima non considero il grado del denominatore, tanto so che devo prendere quello con tarmine più basso che quindi sicuramente sarà quello di grado 1!
c)nessuno di questi!
altra cosa, se faccio la stima, considero i gradi minimi quindi gli opiccoli non li considero?
Grazie a tutti,
Simone.
c)
E soprattutto, NON a).
Gli o-piccoli NON si semplificano; gli o-piccoli sono rappresentazioni della parte che stai trascurando e che, per definizione di o-piccolo, puoi permetterti di ignorare senza gravi conseguenze.
Ma NON si semplificano.
Nemmeno b), perché hai un rapporto e quindi devi considerare sia numeratore sia denominatore.
L'unica regola sulla "profondità" di uno sviluppo di Taylor è che non deve mai rimanerti un o-piccolo da solo, quindi devi sviluppare fino ad avere almeno un termine che non si semplifica con gli altri e che fa la parte principale e ti permette di ignorare l'o-piccolo senza conseguenze.
È una questione di "occhio", e con un po' di esperienza ci si arriva.
E soprattutto, NON a).
Gli o-piccoli NON si semplificano; gli o-piccoli sono rappresentazioni della parte che stai trascurando e che, per definizione di o-piccolo, puoi permetterti di ignorare senza gravi conseguenze.
Ma NON si semplificano.
Nemmeno b), perché hai un rapporto e quindi devi considerare sia numeratore sia denominatore.
L'unica regola sulla "profondità" di uno sviluppo di Taylor è che non deve mai rimanerti un o-piccolo da solo, quindi devi sviluppare fino ad avere almeno un termine che non si semplifica con gli altri e che fa la parte principale e ti permette di ignorare l'o-piccolo senza conseguenze.
È una questione di "occhio", e con un po' di esperienza ci si arriva.
"Inverter":
Ciao!
Ti faccio vedere come farei io (anche io sto preparando l'esame quindi consideralo un ragionamento, non la risposta esatta
http://img27.imageshack.us/img27/4933/2 ... 235014.jpg
quando fai gli sviluppi, poi come hai fatto ad eliminare i termini in $x^3$ e $x^2$ ? avevi $-2/3 x^3 + 1/3 x^3$ e pure $- x^2 / 2 - x^2$
"davidedesantis":
quando fai gli sviluppi, poi come hai fatto ad eliminare i termini in $x^3$ e $x^2$ ? avevi $-2/3 x^3 + 1/3 x^3$ e pure $- x^2 / 2 - x^2$
Perchè per x-->0 li considero trascurabili rispetto al termine x che è di grado minore.
$x^3 = o(x)$ $per$ $x->0$
Mmmmm... vediamo un po'
$2\arctan x+\ln(1+x)-4x-x^2=$
$=2(x-x^3/3+x^5/5+o(x^5))+(x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+x^5/5+o(x^5))-4x-x^2=$
$=-x-3/2 x^2-x^3/3-x^4/4+o(x^4)$
Mi pare proprio che tu abbia commesso qualche errorino nel calcolare lo sviluppo!
$2\arctan x+\ln(1+x)-4x-x^2=$
$=2(x-x^3/3+x^5/5+o(x^5))+(x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+x^5/5+o(x^5))-4x-x^2=$
$=-x-3/2 x^2-x^3/3-x^4/4+o(x^4)$
Mi pare proprio che tu abbia commesso qualche errorino nel calcolare lo sviluppo!
premetto che il limite inizale che avevo io era:
$lim_(x->0^+) (2arctanx+2ln(1+x)-4x-x^2)/(x^\alpha(e^(2sqrtx)-1))$
e non :
$lim_(x->0^+) (2arctanx+ln(1+x)-4x-x^2)/(x^\alpha(e^(2sqrtx)-1))$
infatti se si sviluppa il secondo non si arriva ad $\alpha=7/2$ "bandierina".
Comunque da quello che ho capito io devo sempre sviluppare per fare in modo che non rimanga un opiccolo da solo, e quindi poterlo trascurare, se per esempio con lo sviluppo al quarto grado del numeratore il risultato fosse stato:
$o(x^4)$ poichè si semplificava tutto, avrei dovuto sviluppare almeno di un altro grado, giusto?
$lim_(x->0^+) (2arctanx+2ln(1+x)-4x-x^2)/(x^\alpha(e^(2sqrtx)-1))$
e non :
$lim_(x->0^+) (2arctanx+ln(1+x)-4x-x^2)/(x^\alpha(e^(2sqrtx)-1))$
infatti se si sviluppa il secondo non si arriva ad $\alpha=7/2$ "bandierina".
Comunque da quello che ho capito io devo sempre sviluppare per fare in modo che non rimanga un opiccolo da solo, e quindi poterlo trascurare, se per esempio con lo sviluppo al quarto grado del numeratore il risultato fosse stato:
$o(x^4)$ poichè si semplificava tutto, avrei dovuto sviluppare almeno di un altro grado, giusto?
Bè, se c'è un fattore $2$ davanti al logaritmo si ha
$2\arctan x+2\ln(1+x)-4x-x^2=$
$=2(x-x^3/3+x^5/5+o(x^5))+2(x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+x^5/5+o(x^5))-4x-x^2=$
$=-2 x^2-x^4/2+o(x^4)$
per cui, comunque, lo sviluppo ha come parte principale un infinitesimo di ordine 2.
Per la seconda domanda: i calcoli che ho fatto dovrebbero suggerirti la risposta, non ti pare? Assorbire "come viene viene" ordini più grandi in quelli più piccoli non è sempre un buon metodo!
$2\arctan x+2\ln(1+x)-4x-x^2=$
$=2(x-x^3/3+x^5/5+o(x^5))+2(x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+x^5/5+o(x^5))-4x-x^2=$
$=-2 x^2-x^4/2+o(x^4)$
per cui, comunque, lo sviluppo ha come parte principale un infinitesimo di ordine 2.
Per la seconda domanda: i calcoli che ho fatto dovrebbero suggerirti la risposta, non ti pare? Assorbire "come viene viene" ordini più grandi in quelli più piccoli non è sempre un buon metodo!
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