Sviluppi di taylor!
ciao ragazzi sono una studentessa al primo anno di ingegneria e la prossima settimana ho l'esame di analisi 1. 
.. facendo varie simulazioni mi è capitato più di una volta di incontrare domande alle quali non sono in grado di rispondere, riguardo gli sviluppi di taylor. le domande chiedevano,avendo una funzione già sviluppata, quale fosse il massimo o il minimo della funzione,insomma quali fossero gli estremi. quindi volevo sapere, avendo una funzione già sviluppata attraverso taylor,come faccio a capire qual è il minimo o il massimo della funzione? spero di essere stata abbastanza chiara... 
.. facendo varie simulazioni mi è capitato più di una volta di incontrare domande alle quali non sono in grado di rispondere, riguardo gli sviluppi di taylor. le domande chiedevano,avendo una funzione già sviluppata, quale fosse il massimo o il minimo della funzione,insomma quali fossero gli estremi. quindi volevo sapere, avendo una funzione già sviluppata attraverso taylor,come faccio a capire qual è il minimo o il massimo della funzione? spero di essere stata abbastanza chiara...
Risposte
Gli sviluppi di Taylor forniscono informazioni locali di una funzione. Quanto sia locale dipende in generale dalla curva, ci sono casi in cui la serie di Taylor descrive fedelmente ampi porzioni della funzione. Trovare gli estremi di una funzione espressa localmente come una serie formale \(f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x - x_0)^n\) mi sembra alquanto strano.
Immagino che la domanda fosse del tipo:
Ora vediamo come si risolverebbe un esercizio del genere.
Per prima cosa devi determinare se è un estremo. Una condizione necessaria affinché sia un estremo è che \(\displaystyle f^{(1)}(x_0) = 0 \). Sostituendo nella formula generale si ricava quindi la condizione \(\displaystyle a_1 = 0 \).
Ora pensa a come si esprime la concavità in funzione delle derivate di ordine superiore (non necessariamente la seconda) e trovi delle condizioni sugli altri coefficienti.
Immagino che la domanda fosse del tipo:
La funzione f(x) possiede, in \(\displaystyle x_0 \) sviluppo di Taylor \(f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x - x_0)^n \). Determinare se il punto \(\displaystyle x_0 \) è un massimo, un minimo, un flesso o nessuno di questi
Ora vediamo come si risolverebbe un esercizio del genere.
Per prima cosa devi determinare se è un estremo. Una condizione necessaria affinché sia un estremo è che \(\displaystyle f^{(1)}(x_0) = 0 \). Sostituendo nella formula generale si ricava quindi la condizione \(\displaystyle a_1 = 0 \).
Ora pensa a come si esprime la concavità in funzione delle derivate di ordine superiore (non necessariamente la seconda) e trovi delle condizioni sugli altri coefficienti.
mmm, no il problema che ponevo io è diverso. posto un esempio:
Se f ha sviluppo di taylor f(x)= 3-(x-4)^8+ o((x-4)^8) per x--->4, allora
a) f(x) ha un massimo in x=4
b) f(x) ha un flesso in x=4
c) f(x) ha un flesso in x=0
d) f(x) ha un massimo in x=0.
La risposta corretta è la a, ma non riesco a capire in base a cosa lo determina. scusate se non uso la simbologia adeguata!
Se f ha sviluppo di taylor f(x)= 3-(x-4)^8+ o((x-4)^8) per x--->4, allora
a) f(x) ha un massimo in x=4
b) f(x) ha un flesso in x=4
c) f(x) ha un flesso in x=0
d) f(x) ha un massimo in x=0.
La risposta corretta è la a, ma non riesco a capire in base a cosa lo determina. scusate se non uso la simbologia adeguata!
Oddio anche io ho questo esercizio nel Righero-Ravazzi xD e anche io ho analisi la prossima settimana xD
In poca sostanza devi andare a vedere il segno e l'ordine della prima derivata non nulla; se l'ordine è pari e la derivata calcolata nel punto è >0 hai un punto di minimo, se invece è <0 hai un punto di massimo.
Se l'ordine della prima derivata non nulla è dispari e la derivata calcolata nel punto è <0 hai un flesso discendente, mentre se è >0 hai un flesso ascendente.
Nel tuo caso il segno della prima derivata che è di ordine pari è dato da $-1*8!$ quindi è $<0$ e 4 è punto di massimo
Infatti per il teorema di taylor in questo caso tu hai( non tengo conto della tua funzione ho solo sostituito il 4 nel teorema scritto solo per l'ottava derivata come nel tuo caso)
$f(x)= f(4) + Df(4)/(8!)*x(x-4)^8$ $+o(x-4)^8$
P.s nella $Df(4)$ intendo l'ottava derivata ma non so scriverlo col codice
In poca sostanza devi andare a vedere il segno e l'ordine della prima derivata non nulla; se l'ordine è pari e la derivata calcolata nel punto è >0 hai un punto di minimo, se invece è <0 hai un punto di massimo.
Se l'ordine della prima derivata non nulla è dispari e la derivata calcolata nel punto è <0 hai un flesso discendente, mentre se è >0 hai un flesso ascendente.
Nel tuo caso il segno della prima derivata che è di ordine pari è dato da $-1*8!$ quindi è $<0$ e 4 è punto di massimo
Infatti per il teorema di taylor in questo caso tu hai( non tengo conto della tua funzione ho solo sostituito il 4 nel teorema scritto solo per l'ottava derivata come nel tuo caso
)$f(x)= f(4) + Df(4)/(8!)*x(x-4)^8$ $+o(x-4)^8$
P.s nella $Df(4)$ intendo l'ottava derivata ma non so scriverlo col codice
esatto,non ricordavo i vari casi.. grazie grazie grazie e in bocca al lupo!
"adi":
mmm, no il problema che ponevo io è diverso. posto un esempio:
Se f ha sviluppo di taylor f(x)= 3-(x-4)^8+ o((x-4)^8) per x--->4, allora
a) f(x) ha un massimo in x=4
b) f(x) ha un flesso in x=4
c) f(x) ha un flesso in x=0
d) f(x) ha un massimo in x=0.
La risposta corretta è la a, ma non riesco a capire in base a cosa lo determina. scusate se non uso la simbologia adeguata!
In cosa sarebbe diverso? Semplicemente non scrive tutta la serie ma per il resto è solo scritto in modo diverso.
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