Sviluppi di taylor
dovrei fare lo sviluppo di ln(1+x^2) centrato in x_0 = 1. io avevo provato con la sostituzione x^2 -1 = y, per cui ho pensato si potesse fare lo sviluppo di mclaurin (y->0) di ln(2+y), ma la cosa non funziona. qualcuno mi sa spiegare il perchè?
Risposte
$ln(1+z)=z-z^2/2+z^3/3-z^4/4$$....$ dove $z=x^2$ per cui :$ln(1+x^2)=x^2-x^4/2+x^6/3$$...$
ehm.. la domanda era diversa, e il polinomio originario era centrato in x0 = 1 quindi la tua soluzione non mi sembra corretta. e comunque vorrei capire perchè col mio metodo non funziona
Sicuro del testo dell'esercizio? Non mi sembra fattibile in maniera semplice...
scusa, mi sono dimenticato di aggiungere che è fino al terzo ordine.. il problema è di mio fratello (ma è anche mio visto che non so spiegarmi l'anomalia), ti posto la scansione. abbiamo provato a farlo con le derivate "classiche" e torna, ma con questa sostituzione no, nel senso che otteniamo due polinomi diversi, contro l'unicità del p di taylor. e la cosa ancora più strana è che il grafico del polinomio tarocco approssima bene la funzione ad occhio nudo. al posto di y ha scritto z. non tornano il -2/3, i coefficienti e neppure le potenze delle x (dovrebbero comparire quelle dispari e non quelle pari)
http://img16.imageshack.us/img16/2328/taylorzc.jpg
http://img16.imageshack.us/img16/2328/taylorzc.jpg
Vabbé!
Se è fino al terzo ordine basta calcolare tre derivate...
Se è fino al terzo ordine basta calcolare tre derivate...
ma perchè non viene lo stesso risultato se provo così?
Non funziona perchè con quella sostituzione non state affatto ottenendo uno sviluppo in serie di Taylor... Riflettici un po' e capirai il perchè.
mi stai chiedendo di pormi una domanda che mi sono già posto.. io non la vedo ovvia come cosa, perchè in altri casi le sostituzioni funzionano (ad esempio per e^(x^2) si sfrutta lo sviluppo di e^t.. e così via). insomma, mi interessa sapere perchè quella cosa non funziona.. grazie
Vabbé...
Sostituiamo [tex]$y=x^2-1$[/tex]: otteniamo la funzione ausiliaria [tex]$\ln (2+y)=\ln 2+ \ln \left( 1+\frac{y}{2}\right)$[/tex], la quale può essere sviluppata in serie nel modo che segue:
[tex]$\ln (2+y) =\ln 2+ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n\ 2^n}\ y^n$[/tex];
ora, secondo il tuo ragionamento, basterebbe sostituire a ritroso [tex]$y=x^2-1$[/tex] per ottenere lo sviluppo di Taylor della funzione assegnata... Ma se si fa la sostituzione si trova:
[tex]$\ln 2+\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n\ 2^n}\ (x^2-1)^n$[/tex]
che non è affatto una serie di Taylor, ossia una del tipo:
[tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n\ (x-1)^n$[/tex],
perchè non vi compaiono le potenze di [tex]$x-1$[/tex], bensì quelle di [tex]$x^2-1$[/tex].
Sostituiamo [tex]$y=x^2-1$[/tex]: otteniamo la funzione ausiliaria [tex]$\ln (2+y)=\ln 2+ \ln \left( 1+\frac{y}{2}\right)$[/tex], la quale può essere sviluppata in serie nel modo che segue:
[tex]$\ln (2+y) =\ln 2+ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n\ 2^n}\ y^n$[/tex];
ora, secondo il tuo ragionamento, basterebbe sostituire a ritroso [tex]$y=x^2-1$[/tex] per ottenere lo sviluppo di Taylor della funzione assegnata... Ma se si fa la sostituzione si trova:
[tex]$\ln 2+\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n\ 2^n}\ (x^2-1)^n$[/tex]
che non è affatto una serie di Taylor, ossia una del tipo:
[tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n\ (x-1)^n$[/tex],
perchè non vi compaiono le potenze di [tex]$x-1$[/tex], bensì quelle di [tex]$x^2-1$[/tex].
ok.. ma allora perchè posso fare lo sviluppo di mclaurin di e^(x^2) ponendo t = x^2? almeno a me hanno spiegato che si poteva fare così a suo tempo.. l'errore però dovrebbe essere lo stesso.
Semplicemente perchè [tex]$x^2=(x-0)^2$[/tex].
Ma la stessa tecnica fallisce se vuoi calcolare lo sviluppo intorno a [tex]$1$[/tex], ad esempio (e sempre per il motivo detto sopra).
Ma la stessa tecnica fallisce se vuoi calcolare lo sviluppo intorno a [tex]$1$[/tex], ad esempio (e sempre per il motivo detto sopra).
ciao gugo, grazie anzitutto. sono il fratellone di enrico, e già che ci sono mi registro anche sul sito. Mi sembra di capire, però, che la tecnica funziona con mclaurin anche perchè le derivate di ordine dispari si annullano in zero... tradotto: finchè devo fare sostituzioni del tipo y=kx+q va più o meno tutto bene, con le dovute cautele, però con x^n e non in zero si rischia grosso. sbaglio? grazie ancora
[mod="gugo82"]L'account sharing non è consentito; perciò vi prego di mettere fine a questa cosa, altrimenti dovremmo bannarvi.[/mod]
Ci si deve sempre "andare cauti".
La matematica non si fa con tecniche imparate a memoria; serve sempre ragionare su ciò che si fa.
Comunque sì, si rischia: questo, fondamentalmente, perchè [tex]$x^n-x_0 \neq (x-x_0)^n$[/tex] se [tex]$x_0\neq 0$[/tex].
Ci si deve sempre "andare cauti".
La matematica non si fa con tecniche imparate a memoria; serve sempre ragionare su ciò che si fa.
Comunque sì, si rischia: questo, fondamentalmente, perchè [tex]$x^n-x_0 \neq (x-x_0)^n$[/tex] se [tex]$x_0\neq 0$[/tex].
appena registrato scusa per la condivisione di prima. L' idea appunto non era quella di fare l' esercizio a memoria o meccanicamente, ma di cercare di sfruttare qualche osservazione per non stare a calcolare meccanicamente una serie di derivate (qua siamo al terzo ordine, non era impossibile).
Tornando invece sull' esempio e^(x^2) e sulla sostituzione y=x^2 (polinomio centrato in zero), cercando di generalizzare la cosa:
il polinomio risultante torna anche perchè le derivate di ordine dispari si annullano... però questa cosa non credo possa avere validità generale (voglio dire: f(x^n), non è che posso sostituire z=x^n a cuor leggero).
Detto in termini molto semplici, quindi, a parte casi particolarmente semplici, conviene sempre fare le derivate successive, anche se il procedimento è banalmente meccanico? grazie ancora
Tornando invece sull' esempio e^(x^2) e sulla sostituzione y=x^2 (polinomio centrato in zero), cercando di generalizzare la cosa:
il polinomio risultante torna anche perchè le derivate di ordine dispari si annullano... però questa cosa non credo possa avere validità generale (voglio dire: f(x^n), non è che posso sostituire z=x^n a cuor leggero).
Detto in termini molto semplici, quindi, a parte casi particolarmente semplici, conviene sempre fare le derivate successive, anche se il procedimento è banalmente meccanico? grazie ancora
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