Sviluppi di Taylor:

[Roslyn]

Ho la funzione$ cos(e^x-1)$ devo svilupparla nell'intorno $ 0$ fino al$ 4$ grado! Allora so che $ e^x=1+x^2+x^3/(3!)+x^4/(4!)$ ora devo sviluppare il $ cos(x)= 1-x^2/(2!) +x^4/(4!)$ ed ora per ottenere $ cos(e^x-1) $ non so come procedere! consigli?

[Pierlu11]

Considera prima lo sviluppo di $ cosx=1-x^2/(2!)+x^4/(4!)+o(x^4) $ poi lo sviluppo di $ e^x-1=x+x^2/(2!)+x^3/(3!)+x^4/(4!)+o(x^4) $ ; in questo modo, sapendo che per $ cos(e^x-1) $ devi sostituire al posto delle $ x $ nello sviluppo di $ cosx $ l'intero sviluppo di $ e^x-1 $ , sai quando fermarti... (in questo caso $ x^3 $ può bastare)

Ora procedi con la sostituzione ed elimini qualunque termine di grado maggiore a quattro inserendoli all'interno di un $ o(x^4) $ finale...

$ cos(e^x-1)=1-1/2(x+x^2/(2!)+x^3/(3!)+o(x^3))^2+1/(4!)(x+x^2/(2!)+o(x^2))^4+o(x^4) $
(sembra lungo ma molti termini andranno tolti...)