Sviluppi di McLaurin, cosa calcolare e cosa ignorare

[marpi1]

Salve a tutti. Avrei bisogno di una mano perchè non riesco a capire questo sviluppo.
Devo sviluppare $sin(sinx)$ fino al $o(x^6)$.
Sviluppo la funzione esterna e ottengo

$(sinx) - (sinx)^3/(3!) + (sinx)^5/(5!) + o(sin^6x)$

poi sviluppo quella interna e arrivo ad avere

$[x - x^3/(3!) + x^5/(5!)] - 1/(3!)[x - x^3/(3!) + o(x^4)]^3 + 1/(5!)[x + o(x)]^5 + o(x^6)$

A questo punto, se avessi semplicemente sviluppato tutto fino a o(x^3) mi troverei solo con

$[x - x^3/(3!)] - 1/(3!)[x - x^3/(3!) + o(x^3)]^3 + o(x^3)$

e sarebbe ovvio nella seconda parentesi quadra non considerare x^3/(3!) perchè moltiplicato per qualsiasi $x$ diventerebbe un $o(x^3)$, ma nel mio caso con un $o(x^4)$ dentro alla stessa parentesi e un $o(x^6)$ fuori, cosa dovrei fare?
Il libro continua così:

$x - 1/3x^3 + [1/(5!) + 1/(5!) + 3/(3!3!)]x^5 + o(x^6)$

dal quale ho capito che $-1/3x^3$ si ottiene dall'$x^3/(3!)$ a cui si sottrae l'$x$ della seconda parentesi elevata al cubo per $-1/(3!)$ e il fattoriale si semplifica in 3, mentre $x^3/(3!)$ è stato moltiplicato per $x^2$ (seguendo praticamente il triangolo di Tartaglia).

Ma se io svolgo il binomio al cubo dovrei ottenere

$(x - x^3/(3!))^3 = x^3 -3x^2x^3/(3!) + 3x x^6/(3!)^2 + x^9/(3!)^3 = x^3 - x^5/2 + x^7/(2(3!)) + x^9/(3!)^3$

quindi $x^3 - x^5/2 + o(x^6)$

che non riesco a far combaciare con i risultati del libro!

Ma con questo metodo di prima esplicitare il binomio e poi inglobare i termini in eccesso in o-piccolo non dovrei essere sicuro di non farmi scappare nulla? Sembra che ignorando i termini in due fasi diverse cambi il risultato.
Forse (anzi sicuramente) sto facendo un po' di confusione io, spero possiate aiutarmi.

[marpi1]

Oddio scusatemi, non mi ero accorto che sul libro c'è scritto $ 3/(3!3!) $ continuavo a ragionare come se ci fosse scritto $1/(3!3!)$ ... che stupido. E ci ho pure perso tempo.