Sviluppi di McLaurin

[lucame89]

dovrei lo sviluppo di McLaurin di $e^(sin y)$

sapendo che $e^x = 1+x+((x^2)/2) + ((x^3)/(3!)) +...$

posto $x=sin y$

allora:

$x=sin y=y-(y^3)/(3!)+(y^5)/(5!)+o(y^6)$

quindi:

$e^(sin y) =1 + (x-(x^3)/(3!)+(x^5)/(5!)) + ((x-(x^3)/(3!)+(x^5)/(5!))^2)/2+o(x^2) $

come ragionamento è giusto???pechè con i calcoli non mi trovo...

[fireball1]

A che ordine devi arrestare lo sviluppo?

[lucame89]

bho nn c'è scritto...cmq il risultato finale dovrebbe essere $1+x+1/2x^2-1/8x^4+o(x^4)$

[piero_1]

sviluppo del quarto ordine per $e^x$ (a meno di infinitesimi di ordine superiore):

$x^4/24 + x^3/6 + x^2/2 + x + 1$

sviluppo del quarto ordine per $sinx$ (a meno di infinitesimi di ordine superiore):

$x - x^3/6$

sostituendo otteniamo:
$(x - x^3/6)^4/24 + (x - x^3/6)^3/6 + (x - x^3/6)^2/2 + (x - x^3/6) + 1$

da cui, trascurando gli infinitesimi di ordine superiore a 4:

$x^4/24+x^3/6+1/2(x^2 - x^4/3)+x-x^3/6+1$
e finalmente:
$- x^4/8 + x^2/2 + x + 1+o(x^4)$

[fireball1]

"lucame89":

$1 + (x-(x^3)/(3!)+(x^5)/(5!)) + ((x-(x^3)/(3!)+(x^5)/(5!))^2)/2+o(x^2) $

Piero ha risposto correttamente, io però volevo solo dirti che scrivere in questo modo è sbagliato.
Scrivere cose come $\frac{x^3}{3!}$ o $\frac{x^5}{5!}$ e poi sommarci $o(x^2)$ non ha senso,
perché $o(x^2)$ indica la famiglia di tutte le funzioni infinitesime di ordine superiore a $x^2$ per $x->0$,
e in tale famiglia $\frac{x^3}{3!}$ e $\frac{x^5}{5!}$ sono già incluse.
Nel momento in cui scrivi $o(x^2)$ vuol dire che ti fermi al secondo ordine nello sviluppo di Mac Laurin,
cioè non te ne frega tanto di quali sono esattamente questi infinitesimi di ordine superiore a $x^2$, ti importa solo specificare che ci siano.
In questo caso, ad esempio, se ci si ferma al second'ordine, si ha che per $x->0$,

$e^(sinx)=1+x+x^2/2+o(x^2)$ ,

ovvero, a meno di infinitesimi di ordine maggiore di 2 per $x->0$, si ha $e^(sinx) ~~ 1+x+x^2/2 $.
Nota che non ho scritto l'uguale, ma un simbolo di approssimazione, nell'ultima formula. Se avessi voluto
scrivere l'uguale, a secondo membro avrei dovuto aggiungere $o(x^2)$.
Questo significa fare lo sviluppo di Mac Laurin,
approssimare funzioni trascendenti e complicate nell'intorno di un punto con somme di monomi,
e più alto è l'ordine a cui scegli di arrestare lo sviluppo,
minore è l'errore di approssimazione che commetti.

[piero_1]

"lucame89":bho nn c'è scritto...cmq il risultato finale dovrebbe essere $1+x+1/2x^2-1/8x^4+o(x^4)$

Come ti ha suggerito fireball si tratta di uno sviluppo del quarto ordine.

[mikelozzo]

e in un caso come il mio??? come si evolve la faccenda??

$e^(-xSIN(x))$ ??? devo trovare il polinomio di Taylor però...non l'approsimazione di Mac Laurin (anche se alla fine è la stessa cosa -__-')

come dicevo nell'altro topic...il mio problema è quel $-x$ che non mi fa attuare facilmente la sostituzione $sin(x)=y$....

l'unica cosa a cui avevo pensato era la trasformazione $e^(-xsin(x)) = (e^(-x))^(sin(x))$....però boh!!!

[piero_1]

"mikelozzo":e in un caso come il mio??? come si evolve la faccenda??

potresti almeno farci sapere nell'intorno di quale punto vuoi lo sviluppo? E di che ordine?

[mikelozzo]

gia risolto grazie!!!

[piero_1]

bene, la notte porta consiglio.