Sviluppi di Maclaurin e o piccoli
Salve a tutti,
avrei un problema nella risoluzione di questo limite: $ lim_(n -> +oo ) n^(a) {cos ((n+1) // n^(2)) -1 + 1 // 2n^(2)} $
Se sviluppo la funzione cos(1/ n + 1/n^2) dovrei ottenere 1 - 1/2 (1/n + 1/n^2)^2 + o(1/n + 1/n^2)^2, giusto?
Ora, siccome (1/n + 1/n^2)^2= 1/n^2 + 1/n^4 + 2/n^3, che è asintotico a 1/n^2, dovrei poter scrivere lo sviluppo tenendo conto solo del primo termine del binomio elevato al quadrato e quindi il mio limite diventerebbe: $ lim_(n -> +oo ) n^(a) {1 - 1 // 2n^(2) + o(1/n^(2))-1 + 1 // 2n^(2)} $
Tutti i termini si semplificherebbero e dovrei passare al secondo ordine dello sviluppo.
In classe però questo esercizio è stato svolto con la semplice differenza che al posto di o(1/n^2), è stato messo o(1/n^3); in questo modo il doppio prodotto dell'elevamento a quadrato non viene "mangiato" dall'o piccolo, e rimarrebbe un fattore -1/n^3 che mi dà il risultato.
Il mio problema è che non riesco a capire bene su cosa basarmi per stabilire il grado che deve avere il termine all'interno di o piccolo, a seconda dei vari sviluppi!
Qualcuno potrebbe chiarirmi questo esercizio e darmi un consiglio su come non avere più dubbi al riguardo?
Grazie in anticipo per la disponibilità!
avrei un problema nella risoluzione di questo limite: $ lim_(n -> +oo ) n^(a) {cos ((n+1) // n^(2)) -1 + 1 // 2n^(2)} $
Se sviluppo la funzione cos(1/ n + 1/n^2) dovrei ottenere 1 - 1/2 (1/n + 1/n^2)^2 + o(1/n + 1/n^2)^2, giusto?
Ora, siccome (1/n + 1/n^2)^2= 1/n^2 + 1/n^4 + 2/n^3, che è asintotico a 1/n^2, dovrei poter scrivere lo sviluppo tenendo conto solo del primo termine del binomio elevato al quadrato e quindi il mio limite diventerebbe: $ lim_(n -> +oo ) n^(a) {1 - 1 // 2n^(2) + o(1/n^(2))-1 + 1 // 2n^(2)} $
Tutti i termini si semplificherebbero e dovrei passare al secondo ordine dello sviluppo.
In classe però questo esercizio è stato svolto con la semplice differenza che al posto di o(1/n^2), è stato messo o(1/n^3); in questo modo il doppio prodotto dell'elevamento a quadrato non viene "mangiato" dall'o piccolo, e rimarrebbe un fattore -1/n^3 che mi dà il risultato.
Il mio problema è che non riesco a capire bene su cosa basarmi per stabilire il grado che deve avere il termine all'interno di o piccolo, a seconda dei vari sviluppi!
Qualcuno potrebbe chiarirmi questo esercizio e darmi un consiglio su come non avere più dubbi al riguardo?
Grazie in anticipo per la disponibilità!
Risposte
nel caso della funzione coseno lo sviluppo è: $ cosx=1-(x^2)/2+(x^4)/4-...+(-1)^n (x^(2n))/(2n!)+o(x^(2n+1)) $
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