Sviluppi di Maclaurin e o-piccoli

[petrogass]

In preparazione all'esame di Analisi 1 mi sto esercitando con gli sviluppi di Maclaurin, ma anche con i più semplici non riesco a capire la logica degli o-piccoli. Per esempio per sviluppare la seguente funzione \( f(x)=sin(x^2)+sinh(x^2) \) fino all'ordine 6 ho considerato gli sviluppi di \( sin(z) \) e \( sinh(z) \) al 3° ordine e poi ho sostituito \( z \) con \( x^2 \). Così facendo ottengo però $ o(x^8) $ come resto, mentre la soluzione ha un resto che è $ o(x^6) $ . Devo per caso abbassare il grado dell'o-piccolo fino all'ordine che mi interessa?

[Pierlu11]

Nel caso in cui nello sviluppo non ci siano termini di ordine 7 e 8, scrivere $ o(x^6) $ o scrivere $ o(x^8) $ è la stessa cosa.

[petrogass]

Perché?

[Pierlu11]

Perché (restando nel caso dello sviluppo in un intorno di $ x=0 $ ) con $ o(x^n) $ segnali la presenza di termini che tendono a zero "più rapidamente" di $ x^n $.
Quindi $ o(x^6) $ racchiude termini del tipo di $x^7, x^8, x^9, ...$ a meno di coefficienti, mentre $ o(x^8) $ racchiude termini del tipo di $ x^9, x^10, x^11, ...$ a meno di coefficienti.