Sviluppi di MacLauren: il cosx al denominatore...

[pietro18m]

Salve, ancora una volta mi ritrovo con un problema che ai più può sembrare banale.
Mi ritrovo con un esercizio che dice:

Lo sviluppo di MacLaurin di ordine 3 della funzione f(x) = $ (1 + sin x)/cos x $

Semplice è calcolarlo per il sinx e cosx perchè immediati. Non riesco però a capire come "portare su" il cosx.
Infatti, l'esercizio chiede proprio quello e infatti il risultato è:
$ 1 + x + x^2/2 + x^3/3 + o(x^3) $

Come posso riuscirci? Ho pensato di fare lo sviluppo di $ 1/cosx $ ma non so in che modo...

[pietro18m]

Non ho ancora risolto...

[giuscri]

"pietro18m": Come posso riuscirci? Ho pensato di fare lo sviluppo di $ 1/cosx $ ma non so in che modo...

Ricorda che puoi espandere ${1-\epsilon(x)} ^ a$ (dove $\epsilon(x) -> 0$ , $a \in RR$). Ora è tutto immediato:

$cosx = 1 - x^2 / (2!) + (o(x))^2$

$\Rightarrow 1/cosx = 1/(1+\epsilon(x))$.

i.e. $(1+\epsilon(x))^ (-1)$

Troverai facilmente il risultato che ti hanno dato. Buona fortuna!

Post scriptum, osservazione stupida: non si chiamano sviluppi di MacLauren, ma prendono il nome dal matematico Colin MacLaurin.

Saluti!

[Jengis11]

"giuscri":

Ricorda che puoi espandere ${1-\epsilon(x)} ^ a$ (dove $\epsilon(x) -> 0$ , $a \in RR$). Ora è tutto immediato:

$cosx = 1 - x^2 / (2!) + (o(x))^2$

$\Rightarrow 1/cosx = 1/(1+\epsilon(x))$.

io non c'ho preso niente.. ...quindi suggerisci di arrestare lo sviluppo del coseno ad 1 e poi proseguire con lo sviluppo del numeratore?

se avessi avuto $(e^x-1)/(log(x+1))$ avresti sviluppato così per raggiungere il 3^ ordine? : $(x+x^2/2+x^3/(3!)+x^4/(4!)+o(x^4))/(x+o(x))$ ???????

[giuscri]

io non c'ho preso niente.. ...quindi suggerisci di arrestare lo sviluppo del coseno ad 1 e poi proseguire con lo sviluppo del numeratore?

Credo di non essermi spiegato. Ci riprovo. (Ah, giusto per dirlo: lo sviluppo del coseno al prim'ordine è esattamente $1$).

Il tuo problema è quello di ritrovarti con

$(1 + x - x^3 / (3!) + (o(x))^3) / (1 - x^2 /(2!) + (o(x))^3)$[/list:u:32jg6iv4]

e di non sapere esattamente come proseguire, giusto?


Osservazione, magari non ci hai fatto caso: sopra sviluppo il seno al terzo ordine. Al denominatore, l'espressione del polinomio di MacLaurin al terzo ordine coincide con lo stesso polinomio arrestato al secondo ordine. Questo perché la derivata terza di $cosx$ si annulla in $0$.


Quello che ti dicevo è di ricordarti però che puoi andare avanti perché è noto lo sviluppo di Taylor di funzioni del tipo:


$f(x) = (1 + \epsilon(x)) ^ a$, $a \in RR$.[/list:u:32jg6iv4]

In questo caso chiaramente $a=-1$.

Ti sarà forse più facile vedere la funzione riscritta così:

$\Rightarrow (1 + x - x^3 / (3!) + (o(x))^3)$ $*$ $(1 / (1 - x^2 / (2!) + (o(x))^3))$





Adesso puoi concludere, usando lo spoiler se ti serve. Ah, fa' attenzione ai segni.



se avessi avuto $(e^x-1)/(log(x+1))$ avresti sviluppato così per raggiungere il 3^ ordine? : $(x+x^2/2+x^3/(3!)+x^4/(4!)+o(x^4))/(x+o(x))$ ?



Sì, certo. Ma è un altro esercizio, vero? Non vedo il legame con il resto.

Post scriptum: ti passo questo foglio che potrebbe esserti molto utile. Io lo uso spessissimo.

http://www.mat.unimi.it/users/vignati/A ... pisucc.pdf

Buona fortuna!