Sviluppi asintotici
Salve ho sentito parlare di sviluppi asintotici di funzioni come sviluppi in serie (anche non convergenti) che in certe regioni approssimano la funzione considerata. Ora non ho capito molto come si fanno ste cose, e soprattutto non capisco come possa essere divergente uno sviluppo di questo tipo (penso sempre a quelli di taylor o fourier convergenti).
Ho provato a leggere su wikipedia ma non chiarisce bene la cosa. Qualcuno potrebbe definirmi bene questa cosa e illustrarmi magari qualche esempio e la differenza con un banalissimo sviluppo in serie di potenze?
Ho provato a leggere su wikipedia ma non chiarisce bene la cosa. Qualcuno potrebbe definirmi bene questa cosa e illustrarmi magari qualche esempio e la differenza con un banalissimo sviluppo in serie di potenze?
Risposte
Non so se mi è chiaro quello che tu chiedi.
Per esempio, la funzione $ e^x$ è approssimabile tramite sviluppo di Taylor nell'intorno di 0 con la seguente:
$1 + x $ . Questo si ottiene dalla formula dello sviluppo di Taylor nell' intorno di 0 (detta anche serie di Mac Lauren)
Quindi le due funzioni $e^x$ e $1+x$ sono asintottiche per $x->0$
Vi sono un infinità di altri esempi. La serie di Taylor approssima una funzione nell'intorno di un punto dato e si calcola con derivazioni successive fino ad un certo grado. Per esempio $1+x$ si trova approssimando sino al primo grado di derivazione.
Per esempio, la funzione $ e^x$ è approssimabile tramite sviluppo di Taylor nell'intorno di 0 con la seguente:
$1 + x $ . Questo si ottiene dalla formula dello sviluppo di Taylor nell' intorno di 0 (detta anche serie di Mac Lauren)
Quindi le due funzioni $e^x$ e $1+x$ sono asintottiche per $x->0$
Vi sono un infinità di altri esempi. La serie di Taylor approssima una funzione nell'intorno di un punto dato e si calcola con derivazioni successive fino ad un certo grado. Per esempio $1+x$ si trova approssimando sino al primo grado di derivazione.
Credo che tu ti riferisca a cose del tipo:
[tex]$\text{J}_\nu (x)\approx \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos \left( x-\frac{\nu \pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right) \quad \text{quando $x\to +\infty$}$[/tex]
ove [tex]$\text{J}_\nu (x)$[/tex] è la funzione di Bessel d'ordine [tex]$\nu \geq 0$[/tex].
Un'approssimazione asintotica è qualcosa che ti dà un'idea di come si comporti una funzione "strana" per valori grandi (o piccoli) della variabile.
Ad esempio la (*) ti dice che per [tex]$x$[/tex] grandi, la [tex]$\text{J}_\nu (x)$[/tex] oscilla e che i suoi zeri non si discostano molto dagli zeri della funzione a secondo membro.
Non è una cosa di cui sono molto pratico, ma puoi vedere un po' qui (in particolare, i riferimenti bibliografici) oppure su WIKI.
[tex]$\text{J}_\nu (x)\approx \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos \left( x-\frac{\nu \pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right) \quad \text{quando $x\to +\infty$}$[/tex]
ove [tex]$\text{J}_\nu (x)$[/tex] è la funzione di Bessel d'ordine [tex]$\nu \geq 0$[/tex].
Un'approssimazione asintotica è qualcosa che ti dà un'idea di come si comporti una funzione "strana" per valori grandi (o piccoli) della variabile.
Ad esempio la (*) ti dice che per [tex]$x$[/tex] grandi, la [tex]$\text{J}_\nu (x)$[/tex] oscilla e che i suoi zeri non si discostano molto dagli zeri della funzione a secondo membro.
Non è una cosa di cui sono molto pratico, ma puoi vedere un po' qui (in particolare, i riferimenti bibliografici) oppure su WIKI.
@Raimondo grazie del tentativo ma gli sviluppi in serie di Taylor li conosco abbastanza bene direi 
La risposta che cercavo era quella di gugo82 Moderatore, che ringrazio e mi ha mandato ad alcuni riferimenti. Quello di wiki come già detto l'avevo guardato, ma non approfondisce molto (anzi direi che lo cita una volta al volo) il fatto che uno sviluppo asintotico può essere divergente. Questo mi riesce molto difficile da capire. Voglio dire su wikipedia di fatto come esempi poi fa degli esempi di funzioni di cui si ricava una serie di funzioni che converge (puntualmente od uniformemente) ad essa. E quelli divergenti allora che senso avrebbero di esistere?
Intanto guardo anche l'altro link.
La risposta che cercavo era quella di gugo82 Moderatore, che ringrazio e mi ha mandato ad alcuni riferimenti. Quello di wiki come già detto l'avevo guardato, ma non approfondisce molto (anzi direi che lo cita una volta al volo) il fatto che uno sviluppo asintotico può essere divergente. Questo mi riesce molto difficile da capire. Voglio dire su wikipedia di fatto come esempi poi fa degli esempi di funzioni di cui si ricava una serie di funzioni che converge (puntualmente od uniformemente) ad essa. E quelli divergenti allora che senso avrebbero di esistere?
Intanto guardo anche l'altro link.
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