Sviluppi asintotici

[Bob_inch]

$lim_{x->0} (((1+ln(1+sen x^2))^(1/3) - cos x)/(5x^2)) $

$ln (x^2+o(x^2))$

Come si fa ad elevare $(1+x^2+o(x^2))^(1/3)$?

[n.icola114]

Se non sbaglio più che elevare puoi svilupparla la radice

[Bob_inch]

E come? Non sto trovando nessuna regola...

[n.icola114]

Lo sviluppo di Taylor di $(1 + x)^alpha$ per $x rarr 0$ è
$(1 + x)^alpha = sum_(k = 0)^n ((alpha), (k))x^k + o(x^n)$

[Bob_inch]

ancora non ho studiato lo sviluppo di Taylor...

[Camillo]

Puoi approssimare $(1+x)^alpha $ per $x rarr 0 $ con $1+alphax $

[Sk_Anonymous]

ricorri al limite notevole

$lim_(f(x)->0)((1+f(x))^alpha-1)/(f(x))=alpha

[Bob_inch]

@ Camillo: grazie, mi sei stato molto d'aiuto, miracoloso... più o meno di quant'è l'approssimazione in termini di percentuale? (questa è solo una mia curiosità personale)
Grazie anche agli altri!

Questo limite si calcola facilmente razionalizzando... ma volendo procedere con gli sviluppi cosa si potrebbe fare? (ancora devo capire bene come funziona quest'algebra)

$lim_{x->+oo} x^(1/2) ((x+1)^(1/2) - x^(1/2))$

[n.icola114]

Cosi non puoi svilupparla ma basta scriverere $sqrt(1 + x)$ come $sqrt(x)*sqrt(1 + 1/x)$,
adesso per $x rarr +oo$ hai che $1/x rarr 0$ e quindi sfrutti lo stesso limite notevole

[Bob_inch]

Così però senza sviluppi asintotici....

$lim_{x->oo} x^(1/2) (x^(1/2)-x^(1/2))$

Così il limite si condunce a infinito per zero, la strada più difficilotta.. conveniva moltiplicare e dividere per il secondo membro dentro la parentesi cambiato di segno... cmq il punto non era questo

E' possibile svilupparlo con gli o piccoli? se sì, come?

[n.icola114]

Ti ho suggerito di raccogliere la $x$ perchè cosi potevi sviluppare la radice