Sviluppi all'infinito

[Gustav Wittgenstein]

Ciao a tutti, vorrei farvi un paio di domande sugli sviluppi di Taylor, argomento in cui non mi sento ferratissimo.

Ho questo limite da calcolare: $lim_(xrarr+∞) ((x^2+2)^2logx+2x^3-x^4log(x+2))/(x^2log(1+xarctanx))$

Ora, riesco a fare veramente poco perché sono disorientato dal fatto che la $x$ vada all'infinito anziché a zero come mi parrebbe giusto guardando la funzione.

Comunque: in generale, come determino lo sviluppo di una funzione nell'intorno di $+∞$? In particolare, per quanto riguarda l'arcotangente e il logaritmo? E' possibile farlo?

Ad esempio, WolphramAlpha mi dice che l'arcotangente si scrive come $pi/2-1/x+1/(3x^3)-1/(5x^5)+o(1/x^5)$; come ci si arriva?

Mi servirebbe anche per calcolare quest'altro limite: $lim_(xrarr+∞) x^2log(1+1/x^(2/3))[arctanroot(3)(1+x)-arctanroot(3)(x-1)]$

in particolare, non saprei come sviluppare il fattore con le arcotangenti.

Intanto che ci sono, un'ultima domanda su questo limite: dato che non ho il denominatore, fino a quale ordine mi conviene sviluppare? Devo fidarmi dell'$x^2$ e andare al secondo?

Grazie mille a chiunque voglia prendersi la briga di rispondere...

[francicko]

Non vorrei sbagliarmi, ma per quanto riguarda il primo limite, Taylor non è applicabile,in quanti lo sviluppo in serie di Taylor di una funzione è possibile quando il limite è centrato in zero, qui come mi sembra di vedere non abbiamo funzioni infinitesime.
Applica invece il confronto di infiniti.

[anonymous_0b37e9]

Basta sviluppare la funzione $[g(t)=arctg1/t]$ per $[t=0]$. Per esempio, al terzo ordine:

$[g'(t)=-1/(t^2+1)] ^^ [g''(t)=(2t)/(t^2+1)^2] ^^ [g'''(t)=(-6t^2+2)/(t^2+1)^3] rarr$

$rarr [g(t)=\pi/2-t+1/3t^3+o(t^3)] ^^ [t rarr 0]$

Ponendo $[t=1/x]$:

$[g(1/x)=arctgx=\pi/2-1/x+1/(3x^3)+o(1/x^3)] ^^ [x rarr +oo]$

@ francicko
Solo per farti osservare che, non di rado, si sviluppa piuttosto agevolmente, per esempio, $sin(1/x)$ per $[x rarr +oo]$.