Sviluppi

[gugione]

Chi mi da una mano e qualche dritta per capire come muovermi?

"Sviluppare per x->0 e nel modo più preciso possibile l'espressione $(1-x)/(x-2x^2+x^3+O(x^4))$"

Ho raccolto una x al denominatore:
$(1-x)/(x(1-2x+x^2+O(x^3)))$

Ora non so più come proseguire. In teoria dovrei sviluppare il denominatore (ma come?)...anche perché il numeratore mi sembra ok!!

Grazie a chi mi aiuterà

[ostrogoto1]

Usa
$ 1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+x^4+... $ per $ xrarr0 $

[gugione]

Perchè $1/(1+x)$ ? Piuttosto non dovrei utilizzare lo sviluppo di $1/(1-x)$? E poi come ci si comporta? Lo sviluppo andrebbe sostituito dove c'è $(1-x)$?

[ostrogoto1]

$ 1/(1+y)=1-y+y^2-y^3+y^4+... $ per $ yrarr0 $
quindi
$ 1/(1-2x+x^2)=1-(-2x+x^2)+(-2x+x^2)^2-(-2x+x^2)^3+(-2x+x^2)^4+...=1+2x-x^2+4x^2+x^4-4x^3+8x^3-12x^4+16x^4+...=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+... $

Se usassi lo sviluppo da te indicato:

$ 1/(1-y)=1+y+y^2+y^3+y^4+... $ per $ yrarr0 $
avrei
$ 1/(1-(2x-x^2))=1+(2x-x^2)+(2x-x^2)^2+(2x-x^2)^3+(2x-x^2)^4+...=1+2x-x^2+4x^2+x^4-4x^3+8x^3-12x^4+16x^4+...=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+... $
esattamente la stessa cosa!
Poi riassembliamo i pezzi:

$ (1-x)/(x-2x+x^3)= (1-x)/x(1+2x+3x^2+4x^3+5x^4...)= 1/x(1+2x+3x^2+4x^3+5x^4-x-2x^2-3x^3-4x^4+...)=1/x+1+x^2+x^3+x^4+... $

[gugione]

Grazie mille per la risoluzione...mi hai telto un gran dubbio!!