Sviluppare una funzione usando gli sviluppi asintotici
Ciao a tutti.
Frequento il primo anno del corso di studi in Fisica e Lunedì dovrò dare l'esame di Analisi 1. Ma c'è ancora un argomento su cui ho parecchi dubbi.. e cioè gli sviluppi asintotici. Devo dire che il corso non è stato tenuto nel migliore dei modi.. e di questo sono molto dispiaciuto. Ma veniamo al dunque..
Ho questo esercizio: (se non riuscite a vedere l'immagine al completo potete aprirla in un'altra finestra, così si vede per intero)
In particolare il punto 4b..
Mi sapete spiegare come devo procedere per sviluppare una funzione di questo tipo in 0+ e +∞?
Questa è la soluzione del mio prof.
Perchè passa da
a 
??
Grazie a chiunque voglia aiutarmi
Francesco
Frequento il primo anno del corso di studi in Fisica e Lunedì dovrò dare l'esame di Analisi 1. Ma c'è ancora un argomento su cui ho parecchi dubbi.. e cioè gli sviluppi asintotici. Devo dire che il corso non è stato tenuto nel migliore dei modi.. e di questo sono molto dispiaciuto. Ma veniamo al dunque..
Ho questo esercizio: (se non riuscite a vedere l'immagine al completo potete aprirla in un'altra finestra, così si vede per intero)
In particolare il punto 4b..
Mi sapete spiegare come devo procedere per sviluppare una funzione di questo tipo in 0+ e +∞?
Questa è la soluzione del mio prof.
Perchè passa da
a ??Grazie a chiunque voglia aiutarmi
Francesco
Risposte
Per \(x\to 0\) l'argomento del seno tende a \(-\pi\); ciò non ti aiuta, perchè sai solo che lo sviluppo di Taylor:
\[
\sin y =y-\frac{1}{6}\ y^3+\cdots + \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\ y^{2n+1}+ \text{o}(y^{2n+2})
\]
vale per \(y\to 0\), non per \(y\to -\pi\).
Ciò nonostante, le proprietà del seno ti consentono di sfruttare il precedente sviluppo anche in \(y\to -\pi\): infatti, dato che:
\[
\sin y= \sin (y+\pi -\pi) =\sin [(y+\pi)-\pi] =-\sin (y+\pi)
\]
e visto che \(y+\pi \to 0\) quando \(y\to -\pi\), si ha:
\[
\begin{split}
\sin y &=-\sin (y+\pi)\\
&=-\left( (y+\pi) -\frac{1}{6}\ (y+\pi)^3+\cdots +\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\ (y+\pi)^{2n+1} +\text{o}((y+\pi)^{2n+2})\right) \\
&=-(y+\pi) +\frac{1}{6}\ (y+\pi)^3+\cdots +\frac{(-1)^{n+1}}{(2n+1)!}\ (y+\pi)^{2n+1} +\text{o}((y+\pi)^{2n+2})
\end{split}
\]
quando \(y\to -\pi\).
In particolare, al primo ordine è:
\[
\sin y =-\pi -y +\text{o}((y+\pi)^2)
\]
per \(y\to -\pi\).
Dato che \(\frac{3\sqrt{x} -1}{x+1}\ \pi \to -\pi\) per \(x\to 0\) (come notavamo all'inizio), puoi sostituire \(y=\frac{3\sqrt{x} -1}{x+1}\ \pi\) nell'ultimo sviluppo trovato e ricavare:
\[
\begin{split}
\sin \left( \frac{3\sqrt{x} -1}{x+1}\ \pi\right) &= -\pi \left( 1+\frac{3\sqrt{x} -1}{x+1} \right) +\text{o}\left( \left(\frac{3\sqrt{x} -1}{x+1}\ \pi +\pi\right)^2\right)\\
&= -\pi \frac{x+3\sqrt{x}}{x+1} + \text{o}\left( \left(\frac{x+3\sqrt{x}}{x+1} \right)^2\right)\; ,
\end{split}
\]
cosicché, per terminare l'esercizio, basta armeggiare un po' con la funzione \(\frac{x+3\sqrt{x}}{x+1}\).
Visto che \(1/(x+1)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n\) (serie geometrica di ragione \(-x\)), troncando la serie al primo ordine troviamo:
\[
\begin{split}
\frac{x+3\sqrt{x}}{x+1} &= (x+3\sqrt{x})\frac{1}{x+1}\\
&= (x+3\sqrt{x}) (1-x+\text{o}(x))\\
&= 3\sqrt{x} +x-3x\sqrt{x}\underbrace{-x^2 + \text{o}(x\sqrt{x})}_{\color{red}{=\text{o}(x\sqrt{x})}}\\
&= 3\sqrt{x} +x-3x\sqrt{x}+\text{o}(x\sqrt{x})
\end{split}
\]
(il termine \(-x^2 + \text{o}(x\sqrt{x})\) lo inglobo in un \(\text{o}(x\sqrt{x})\), visto che non mi servono troppi termini significativi), e sostituendo:
\[
\begin{split}
\sin \left( \frac{3\sqrt{x} -1}{x+1}\ \pi\right) &= \pi \frac{x+3\sqrt{x}}{x+1} + \text{o}\left( \frac{x+3\sqrt{x}}{x+1} \right)\\
&= -\pi (3\sqrt{x} +x-3x\sqrt{x}+\text{o}(x\sqrt{x})) + \text{o}\Big( ( 3\sqrt{x} \underbrace{+x-3x\sqrt{x}+\text{o}(x\sqrt{x})}_{\color{red}{=\text{o}(\sqrt{x})}} )^2\Big)\\
&= -3\pi \sqrt{x} - \pi x +3\pi x\sqrt{x} +\text{o}(x\sqrt{x}) +\text{o} ((3\sqrt{x}+\text{o}(\sqrt{x}))^2)\\
&= -3\pi \sqrt{x} - \pi x +3\pi x\sqrt{x} +\text{o}(x\sqrt{x}) +\text{o} (9x+\underbrace{6\sqrt{x}\ \text{o}(\sqrt{x}) +\text{o}(x)}_{\color{red}{=\text{o}(x)}})\\
&= -3\pi \sqrt{x} - \pi x +3\pi x\sqrt{x} +\text{o}(x\sqrt{x}) +\underbrace{\text{o} (9x+\text{o}(x))}_{\color{red}{=\text{o}(x)}}\\
&= -3\pi \sqrt{x} - \pi x \underbrace{+3\pi x\sqrt{x} +\text{o}(x\sqrt{x}) +\text{o}(x)}_{\color{red}{=\text{o}(x)}}\\
&= -3 \pi \sqrt{x} -\pi x +\text{o}(x)
\end{split}
\]
\[
\sin y =y-\frac{1}{6}\ y^3+\cdots + \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\ y^{2n+1}+ \text{o}(y^{2n+2})
\]
vale per \(y\to 0\), non per \(y\to -\pi\).
Ciò nonostante, le proprietà del seno ti consentono di sfruttare il precedente sviluppo anche in \(y\to -\pi\): infatti, dato che:
\[
\sin y= \sin (y+\pi -\pi) =\sin [(y+\pi)-\pi] =-\sin (y+\pi)
\]
e visto che \(y+\pi \to 0\) quando \(y\to -\pi\), si ha:
\[
\begin{split}
\sin y &=-\sin (y+\pi)\\
&=-\left( (y+\pi) -\frac{1}{6}\ (y+\pi)^3+\cdots +\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\ (y+\pi)^{2n+1} +\text{o}((y+\pi)^{2n+2})\right) \\
&=-(y+\pi) +\frac{1}{6}\ (y+\pi)^3+\cdots +\frac{(-1)^{n+1}}{(2n+1)!}\ (y+\pi)^{2n+1} +\text{o}((y+\pi)^{2n+2})
\end{split}
\]
quando \(y\to -\pi\).
In particolare, al primo ordine è:
\[
\sin y =-\pi -y +\text{o}((y+\pi)^2)
\]
per \(y\to -\pi\).
Dato che \(\frac{3\sqrt{x} -1}{x+1}\ \pi \to -\pi\) per \(x\to 0\) (come notavamo all'inizio), puoi sostituire \(y=\frac{3\sqrt{x} -1}{x+1}\ \pi\) nell'ultimo sviluppo trovato e ricavare:
\[
\begin{split}
\sin \left( \frac{3\sqrt{x} -1}{x+1}\ \pi\right) &= -\pi \left( 1+\frac{3\sqrt{x} -1}{x+1} \right) +\text{o}\left( \left(\frac{3\sqrt{x} -1}{x+1}\ \pi +\pi\right)^2\right)\\
&= -\pi \frac{x+3\sqrt{x}}{x+1} + \text{o}\left( \left(\frac{x+3\sqrt{x}}{x+1} \right)^2\right)\; ,
\end{split}
\]
cosicché, per terminare l'esercizio, basta armeggiare un po' con la funzione \(\frac{x+3\sqrt{x}}{x+1}\).
Visto che \(1/(x+1)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n\) (serie geometrica di ragione \(-x\)), troncando la serie al primo ordine troviamo:
\[
\begin{split}
\frac{x+3\sqrt{x}}{x+1} &= (x+3\sqrt{x})\frac{1}{x+1}\\
&= (x+3\sqrt{x}) (1-x+\text{o}(x))\\
&= 3\sqrt{x} +x-3x\sqrt{x}\underbrace{-x^2 + \text{o}(x\sqrt{x})}_{\color{red}{=\text{o}(x\sqrt{x})}}\\
&= 3\sqrt{x} +x-3x\sqrt{x}+\text{o}(x\sqrt{x})
\end{split}
\]
(il termine \(-x^2 + \text{o}(x\sqrt{x})\) lo inglobo in un \(\text{o}(x\sqrt{x})\), visto che non mi servono troppi termini significativi), e sostituendo:
\[
\begin{split}
\sin \left( \frac{3\sqrt{x} -1}{x+1}\ \pi\right) &= \pi \frac{x+3\sqrt{x}}{x+1} + \text{o}\left( \frac{x+3\sqrt{x}}{x+1} \right)\\
&= -\pi (3\sqrt{x} +x-3x\sqrt{x}+\text{o}(x\sqrt{x})) + \text{o}\Big( ( 3\sqrt{x} \underbrace{+x-3x\sqrt{x}+\text{o}(x\sqrt{x})}_{\color{red}{=\text{o}(\sqrt{x})}} )^2\Big)\\
&= -3\pi \sqrt{x} - \pi x +3\pi x\sqrt{x} +\text{o}(x\sqrt{x}) +\text{o} ((3\sqrt{x}+\text{o}(\sqrt{x}))^2)\\
&= -3\pi \sqrt{x} - \pi x +3\pi x\sqrt{x} +\text{o}(x\sqrt{x}) +\text{o} (9x+\underbrace{6\sqrt{x}\ \text{o}(\sqrt{x}) +\text{o}(x)}_{\color{red}{=\text{o}(x)}})\\
&= -3\pi \sqrt{x} - \pi x +3\pi x\sqrt{x} +\text{o}(x\sqrt{x}) +\underbrace{\text{o} (9x+\text{o}(x))}_{\color{red}{=\text{o}(x)}}\\
&= -3\pi \sqrt{x} - \pi x \underbrace{+3\pi x\sqrt{x} +\text{o}(x\sqrt{x}) +\text{o}(x)}_{\color{red}{=\text{o}(x)}}\\
&= -3 \pi \sqrt{x} -\pi x +\text{o}(x)
\end{split}
\]
Perfetto.. Grazie..
Ma quando inglobi i termini dentro agli 'o piccoli', lo fai perchè sono termini trascurabili rispetto all'argomento degli 'o piccoli'?
Grazie..Ma quando inglobi i termini dentro agli 'o piccoli', lo fai perchè sono termini trascurabili rispetto all'argomento degli 'o piccoli'?
In generale, sai che \(x^\alpha =\text{o}(x^\beta )\) quando \(\alpha >\beta\); quindi quando hai una somma del tipo \(x^\alpha +\text{o}(x^\beta)\) con \(\alpha > \beta\) la puoi scrivere direttamente accorpando tutto dentro l'\(\text{o}\):
\[
x^\alpha +\text{o}(x^\beta) =\text{o}(x^\beta)\; .
\]
\[
x^\alpha +\text{o}(x^\beta) =\text{o}(x^\beta)\; .
\]
Grazie infinite.
Ad esempio.. devo sviluppare questa funzione:
$ f (x) = x*sin(x)$ per $x \rightarrow \pi$
Allora..
$f(x) = x*sin[(x-\pi)+\pi] = -x[(x-\pi) -\frac{(x-\pi)^3}{6} + o[(x-\pi)^3]]$
Che faccio, lascio lo sviluppo così, o devo fare le moltiplicazioni e cercare di inglobare più termini possibili dentro 'o piccolo'?
$ f (x) = x*sin(x)$ per $x \rightarrow \pi$
Allora..
$f(x) = x*sin[(x-\pi)+\pi] = -x[(x-\pi) -\frac{(x-\pi)^3}{6} + o[(x-\pi)^3]]$
Che faccio, lascio lo sviluppo così, o devo fare le moltiplicazioni e cercare di inglobare più termini possibili dentro 'o piccolo'?
Beh, guarda che è inutile semplificare oltre.
Infatti i termini \(x(x-\pi)\) ed \(x(x-\pi)^3\) sono infinitesimi d'ordine \(\leq\) a \((x-\pi)^3\), quindi, anche svolgendo i prodotti le potenze, non potresti tirare nulla dentro il simbolo di Landau.
Infatti i termini \(x(x-\pi)\) ed \(x(x-\pi)^3\) sono infinitesimi d'ordine \(\leq\) a \((x-\pi)^3\), quindi, anche svolgendo i prodotti le potenze, non potresti tirare nulla dentro il simbolo di Landau.
Ok.. ma in base a cosa decido a che termine bloccare lo sviluppo? Perchè ad esempio il mio prof si ferma al primo termine in questo caso..
"franc3sc0":
Ok.. ma in base a cosa decido a che termine bloccare lo sviluppo? Perchè ad esempio il mio prof si ferma al primo termine in questo caso..
In base a quello che devi fare, non c'è una regola generale.
Ad esempio, se devi calcolare:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{x-\sin x}{\sqrt{x}}
\]
puoi fermarti al primo termine col seno (perché?). Però se devi calcolare:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{x-\sin x}{x^2}
\]
non puoi fermarti al primo ordine, poiché otterresti:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{\text{o}(x)}{x^2}
\]
e, stanti così le cose, non riesci a decedere come si comporti quel limite: infatti dentro il simbolo di Landau, in linea di principio, ci potrebbe essere nascosto un qualcosa \(\approx x\sqrt{x}\), oppure \(\approx x^2\) ovvero un \(\approx x^3\), ed il risultato del limite cambierebbe di conseguenza.
Quindi vai oltre nello sviluppo e scrivi:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{1/6\ x^3 +\text{o}(x^3)}{x^2}
\]
da cui calcoli facile il risultato.
"gugo82":[/quote]
[quote="franc3sc0"]
Ad esempio, se devi calcolare:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{x-\sin x}{\sqrt{x}}
\]
puoi fermarti al primo termine col seno (perché?).
Bella domanda.. perchè $sin(x)-x=o(x)$ e dunque
$\lim_{xto 0} \frac{o(x)}{\sqrt{x}} = 0$ perchè non $\sqrt{x}$ non è trascurabile rispetto ad x?
"franc3sc0":
[quote="gugo82"]
Ad esempio, se devi calcolare:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{x-\sin x}{\sqrt{x}}
\]
puoi fermarti al primo termine col seno (perché?).
Bella domanda.. perchè $sin(x)-x=o(x)$ e dunque
$\lim_{xto 0} \frac{o(x)}{\sqrt{x}} = 0$ perchè non $\sqrt{x}$ non è trascurabile rispetto ad x?[/quote]
Beh, perché moltiplicando e dividendo per \(x\) si ha:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{x-\sin x}{\sqrt{x}} =\lim_{x\to 0} \frac{\text{o}(x)}{\sqrt{x}} =\lim_{x\to 0} \frac{\text{o}(x)}{x}\cdot \frac{x}{\sqrt{x}} = 0\cdot 0=0\; .
\]
Grazie tante.. se ho qualche altro dubbio ti farò sapere (cosa molto probabile purtroppo..)
(cosa molto probabile purtroppo..)
Ecco.. come non detto!
Ad esempio..
Sviluppare $f(x) = |3log|x|-1|-x$ in $-1, 0^+, +∞$ rispetto ad opportune scale di confronto..
Qui Taylor non posso mica usarlo giusto? Visto che in 0 la funzione non è derivabile e ovviamente non posso definire $f(+∞)$....
Ad esempio..
Sviluppare $f(x) = |3log|x|-1|-x$ in $-1, 0^+, +∞$ rispetto ad opportune scale di confronto..
Qui Taylor non posso mica usarlo giusto? Visto che in 0 la funzione non è derivabile e ovviamente non posso definire $f(+∞)$....
Vabbé in \(0^+\) la tua funzione si comporta come \(3\Big|\ln |x|\Big|\), mentre in \(+\infty\) come \(-x\).
In \(-1\) puoi usare Taylor per il logaritmo, tenendo presente che \(\ln |x|= \ln \Big| (x+1) -1\Big|=\ln \Big| 1-(x+1)\Big|\).
Prova un po' e facci sapere.
In \(-1\) puoi usare Taylor per il logaritmo, tenendo presente che \(\ln |x|= \ln \Big| (x+1) -1\Big|=\ln \Big| 1-(x+1)\Big|\).
Prova un po' e facci sapere.
Scusa.. forse non hai scritto bene il codice in latex e non capisco come quale funzione si comporta in $0^+$..
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