Sviluppabilita'in serie di taylor..

[idea1]

salve a tutti volevo sapere come si fa a dimostrare che una funzione e'sviluppabile..
Ad esempio dimostrare che la funzione=arctg(x) e'sviluppabile in serie di mac laurin...
come si fa?...
per il criterio di sviluppabilita'..bisogna dimostrare che la funzione e'indefinitamente derivabile(ammette derivate di ogni ordine)e che le derivate sn equilimitate..ecco per dimostrare che le derivate sn equilimitate cm si procede dico nella pratica??
grazie a tutti in anticipo

[Gaal Dornick]

ad esempio.. dimostriamo che $e^x$ è sviluppabile in serie di Taylor

prendo $x in RR$

considero il compatto $[-alpha,alpha] , alpha in RR$ tale che $ x in [-alpha,alpha]$
so che $exp in C^(oo)/([-alpha,alpha])$
inoltre $forall n in NN forall x in [-alpha,alpha]: |D^((n))exp(x)|=|exp(x)|=e^x<=e^alpha$ per la crescenza dell'esponenziale

quindi le derivate sono equilimitate.. e exp è sviluppabile in serie di Taylor in $[-alpha,alpha]$

per l'arbitrarietà di alpha.. è sviluppabile in serie di Taylor

[idea1]

"Gaal Dornick":ad esempio.. dimostriamo che $e^x$ è sviluppabile in serie di Taylor

prendo $x in RR$

considero il compatto $[-alpha,alpha] , alpha in RR$ tale che $ x in [-alpha,alpha]$
so che $exp in C^(oo)/([-alpha,alpha])$
inoltre $forall n in NN forall x in [-alpha,alpha]: |D^((n))exp(x)|=|exp(x)|=e^x<=e^alpha$ per la crescenza dell'esponenziale

quindi le derivate sono equilimitate.. e exp è sviluppabile in serie di Taylor in $[-alpha,alpha]$

per l'arbitrarietà di alpha.. è sviluppabile in serie di Taylor

grassie e per l'arctgx come viene???