Sviluppabilità in serie di Taylor

[mazzy89-votailprof]

Data la seguente funzione $f(x)=root(3)(x)$, svilupparla in serie di Taylor in un intorno del punto $x=1$

Il mio ragionamento nell'affrontare il seguente esercizio è questo: mi domando se la funzione ha derivate di qualsiasi ordine in $]x_0-r,x_0+r[$ 2. successivamente vedo se $|f^(n)(x)|

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Risposte

pater46

25 mar 2010, 09:18

Tecnicamente, è un intorno circolare di $x_{0}$ con raggio $r$.

Ho studiato le funzioni analitiche ( ed i loro sviluppi in serie di taylor ) proprio la settimana scorsa Una delle condizioni sufficienti affinchè una funzione di classe $C^{+\infty}$ sia analitica è quella che citi proprio tu, ovvero:

$\exists M>0, \exists \delta >0 : \forall x \in ]x_{0} - \delta, x_{0} + \delta [ \rightarrow | f^{(n)](x) | \leq M

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mazzy89-votailprof

25 mar 2010, 09:25

ho eseguito un paio di calcoli ed ho trovato:

$root(3)(x)=sum_(n=0)^(+infty) (x-1)^n/(n!)*q/3^n$

dove $q$ è la parte dello sviluppo a cui non mi so ricondurre.

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pater46

25 mar 2010, 10:44

Nessuna delle derivate sembra riconducibile ad una serie notevole... Non credo che trovarti lo sviluppo ora sia una buona idea, direi che sarebbe meglio trovarti una formula per la derivata ennesima... Ho trovato qualcosa come:

$(-1)^{n-1} \cdot x^{\frac{1}{3} - n} \cdot \frac{1}{3} \cdot a_{n}$

con $a_{n} = {1, 4, 7, 10, ...}$ che non riesco a esprimere meglio :\

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pater46

25 mar 2010, 10:53

Ooops... rileggendo il quaderno di analisi ho trovato uno sviluppo di mc laurin che avevo dimenticato

$(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^{+\infty} [ a_{n} \cdot x^{n} ]$

con $ a_{n} = \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)...(\alpha-n+1)}{n!} $ coefficiente binomiale ( non sembra esserci una dicitura per questo in latex )


( Questo sviluppo in x=0 equivale al tuo sviluppo in x=1 )

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mazzy89-votailprof

25 mar 2010, 10:57

"pater46":Ooops... rileggendo il quaderno di analisi ho trovato uno sviluppo di mc laurin che avevo dimenticato

$(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^{+\infty} [ a_{n} \cdot x^{n} ]$

con $ a_{n} = \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)...(\alpha-n+1)}{n!} $ coefficiente binomiale ( non sembra esserci una dicitura per questo in latex )


( Questo sviluppo in x=0 equivale al tuo sviluppo in x=1 )

scusami pater46 ma credo proprio di non aver capito

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[pater46]

Tecnicamente, è un intorno circolare di $x_{0}$ con raggio $r$.

Ho studiato le funzioni analitiche ( ed i loro sviluppi in serie di taylor ) proprio la settimana scorsa Una delle condizioni sufficienti affinchè una funzione di classe $C^{+\infty}$ sia analitica è quella che citi proprio tu, ovvero:

$\exists M>0, \exists \delta >0 : \forall x \in ]x_{0} - \delta, x_{0} + \delta [ \rightarrow | f^{(n)](x) | \leq M

[mazzy89-votailprof]

ho eseguito un paio di calcoli ed ho trovato:

$root(3)(x)=sum_(n=0)^(+infty) (x-1)^n/(n!)*q/3^n$

dove $q$ è la parte dello sviluppo a cui non mi so ricondurre.

[pater46]

Nessuna delle derivate sembra riconducibile ad una serie notevole... Non credo che trovarti lo sviluppo ora sia una buona idea, direi che sarebbe meglio trovarti una formula per la derivata ennesima... Ho trovato qualcosa come:

$(-1)^{n-1} \cdot x^{\frac{1}{3} - n} \cdot \frac{1}{3} \cdot a_{n}$

con $a_{n} = {1, 4, 7, 10, ...}$ che non riesco a esprimere meglio :\

[pater46]

Ooops... rileggendo il quaderno di analisi ho trovato uno sviluppo di mc laurin che avevo dimenticato

$(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^{+\infty} [ a_{n} \cdot x^{n} ]$

con $ a_{n} = \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)...(\alpha-n+1)}{n!} $ coefficiente binomiale ( non sembra esserci una dicitura per questo in latex )


( Questo sviluppo in x=0 equivale al tuo sviluppo in x=1 )

[mazzy89-votailprof]

"pater46":Ooops... rileggendo il quaderno di analisi ho trovato uno sviluppo di mc laurin che avevo dimenticato

$(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^{+\infty} [ a_{n} \cdot x^{n} ]$

con $ a_{n} = \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)...(\alpha-n+1)}{n!} $ coefficiente binomiale ( non sembra esserci una dicitura per questo in latex )


( Questo sviluppo in x=0 equivale al tuo sviluppo in x=1 )

scusami pater46 ma credo proprio di non aver capito