Sviluppabilità in serie di taylor
Come faccio a dire che $f(x)=1/(1+x^2)$ è sviluppabile in serie solo tra -1 e 1?
Risposte
Il vero motivo per cui succede questo fenomeno lo capisci solo mettendoti nel piano complesso. Infatti la tua $f(x)$ è la restrizione alla retta reale della funzione di variabile complessa $F(z)=1/(1+z^2)$, che ha una discontinuità in $i$.
Per una dimostrazione formale, trova lo sviluppo in serie di Taylor di centro $0$ della tua $f$ e poi vedi un po' cosa puoi dire.
Per una dimostrazione formale, trova lo sviluppo in serie di Taylor di centro $0$ della tua $f$ e poi vedi un po' cosa puoi dire.
non sei stato chiarissimo.... o meglio.... io non ho capito quello che hai detto.... 
lasciamo stare il piano complesso che non ho mai fatto....
lasciamo stare il piano complesso che non ho mai fatto....
Sono d'accordo, lasciamo stare il piano complesso 
.
Per trovare lo sviluppo di $f$ possiamo seguire due strade:
o ci ricordiamo che $"arctan"(x)=sum_{n=0}^infty(-1)^nx^(2n+1)/((2n+1)!)$ per $|x|<1$ e deriviamo termine a termine,
oppure (e secondo me è meglio) usiamo il trucco di ricondurci alla serie geometrica.
Infatti $1/(1+x^2)=1/(1-(-x^2))$, ora poniamo $y=-x^2$ e usiamo la formula $sum_{n=0}^inftyy^n=1/(1-y)$., valida per $|y|<1$. Questo già ti fa capire che la serie non convergerà ovunque: se ne vuoi la prova definitiva, applica un qualunque criterio di convergenza e te ne rendi conto.
Spero di essere stato più chiaro adesso.
. Per trovare lo sviluppo di $f$ possiamo seguire due strade:
o ci ricordiamo che $"arctan"(x)=sum_{n=0}^infty(-1)^nx^(2n+1)/((2n+1)!)$ per $|x|<1$ e deriviamo termine a termine,
oppure (e secondo me è meglio) usiamo il trucco di ricondurci alla serie geometrica.
Infatti $1/(1+x^2)=1/(1-(-x^2))$, ora poniamo $y=-x^2$ e usiamo la formula $sum_{n=0}^inftyy^n=1/(1-y)$., valida per $|y|<1$. Questo già ti fa capire che la serie non convergerà ovunque: se ne vuoi la prova definitiva, applica un qualunque criterio di convergenza e te ne rendi conto.
Spero di essere stato più chiaro adesso.
in poche parole hai calcolato il raggio di convergenza di $1/(1-y)$? che è R=1. quindi è convergente in -1,1.... e questo mi dice che la funzione è sviluppabile in -1,1?
Ti chiedo scusa, mi sono accorto solo adesso di un errore di fondo, qui:
Questo è falso. $f$ è una funzione analitica, ovvero è sviluppabile in serie in ogni punto del proprio dominio e non solo tra $-1$ e $1$. Quello che abbiamo dimostrato prima è che lo sviluppo di $f$ di centro $0$ converge solo tra $-1$ e $1$, ma poi in ogni altro punto ci sarà uno sviluppo convergente in tutto un intorno.
Come faccio a dire che $f(x)=1/(1+x^2)$ è sviluppabile in serie solo tra -1 e 1?
Questo è falso. $f$ è una funzione analitica, ovvero è sviluppabile in serie in ogni punto del proprio dominio e non solo tra $-1$ e $1$. Quello che abbiamo dimostrato prima è che lo sviluppo di $f$ di centro $0$ converge solo tra $-1$ e $1$, ma poi in ogni altro punto ci sarà uno sviluppo convergente in tutto un intorno.
allora il mio prof potrebbe aver sbagliato? dubito magari ho scritto male....
scrive $f(x)=1/(1+x^2)= sum_(x=1)^(+oo)(-1)^n*x^(2n)$.
f è di classe c infinito in R ---> è sviluppabile solo in -1 e 1.
f è di classe c infinito in R ---> è sviluppabile solo in -1 e 1.
Così come è scritto significa poco. Probabilmente il messaggio è: attenzione, anche se una funzione è di classe $C^infty(RR)$, non è detto che i propri sviluppi in serie convergano su tutto $RR$. Per alcune funzioni, come ad esempio $e^x$, è così, ma non per tutte.
ok... grazie
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