Sviluppabilità in serie di Taylor
Sia $f:\mathbb R \to \mathbb R$ tale che: $f(0)=0$ e $f(x)=1/x \int_0^xlog(1+t^2)dt$ $\forall x!=0$.
Dimostrare che $f\in C^\infty(\mathbb R,\mathbb R)$ ed è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale $x_0=0$ in ogni punto $x\in]-1,1[$
Il mio professore di analisi è solito sottoporre esercizi del genere però io non so come fare una trattazione completa della dimostrazione. Sapete aiutarmi?
Dimostrare che $f\in C^\infty(\mathbb R,\mathbb R)$ ed è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale $x_0=0$ in ogni punto $x\in]-1,1[$
Il mio professore di analisi è solito sottoporre esercizi del genere però io non so come fare una trattazione completa della dimostrazione. Sapete aiutarmi?
Risposte
Per la continuità e la differenziabilità del primo ordine bastano i teoremi di de l'Hopital e il teorema fondamentale del calcolo integrale; per dimostrare che $f\in C^n$ per $n>1$ probabilmente dovrai fare qualche conto in più.
Per la sviluppabilità in serie il percorso è facile: sviluppa in serie il logaritmo, ricorda il teorema di passaggio al limite sotto il segno d'integrale, porta $1/x$ nella sommatoria, semplifica.
Per la sviluppabilità in serie il percorso è facile: sviluppa in serie il logaritmo, ricorda il teorema di passaggio al limite sotto il segno d'integrale, porta $1/x$ nella sommatoria, semplifica.
Potreste delucidarmi meglio sul dimostrare che effettivamente $f\inC^infty(\mathbb R, \mathbb R)$?
Secondo me potresti ragionare come segue.
La formula di Leibniz per le derivate successive di un prodotto fornisce: $AA n\in NN$,
$f^((n))(x)=\sum_(h=0)^n ((n),(h))D^(h)[1/x]*D^(n-h)[\int_0^x ln(1+t^2)" d"t]=\sum_(h=0)^n((n),(h)) ((-1)^h h!)/x^(h+1)*D^(n-h)[\int_0^x ln(1+t^2)" d"t] \quad$;
nelle derivate successive di $\int_0^x ln(1+t^2)" d"t$ che figurano all'ultimo membro sono presenti o la funzione $\int_0^x ln(1+t^2)" d"t$ (nella derivata di ordine zero $D^0$), o la funzione integranda $ln(1+x^2)$ (nella derivata prima $D^1$) oppure un'applicazione del tipo $(p_h(x))/(1+x^2)^(m_h)$, con $p_h(x)$ polinomiale ed $m_h \in NN$ (nelle derivate d'ordine $nu>=2$ $D^nu$): visto che i tre tipi di funzione appena citati sono continui in tutto $RR$ (infatti, la funzione integrale è banalmente continua; il logaritmo e le funzioni razionali pure, perchè argomento e denominatori sono positivi), l'unico punto "problematico" per la continuità della derivata $f^((n))$ è $0$, poiché esso annulla il denominatore dei fattori $((-1)^h h!)/x^(h+1)$.
Pertanto hai acquisito che $f$ è certamente di classe $C^oo$ in $RR\setminus \{0\}$.
Ora, per mostrare che $f\in C^oo(RR)$ basta terminare l'esercizio: infatti se riesci a provare che $f$ è somma di una serie di potenze di centro $0$, allora $f$ è "automaticamente" indefinitamente differenziabile in $0$ e, perciò, in tutto $RR$.
La formula di Leibniz per le derivate successive di un prodotto fornisce: $AA n\in NN$,
$f^((n))(x)=\sum_(h=0)^n ((n),(h))D^(h)[1/x]*D^(n-h)[\int_0^x ln(1+t^2)" d"t]=\sum_(h=0)^n((n),(h)) ((-1)^h h!)/x^(h+1)*D^(n-h)[\int_0^x ln(1+t^2)" d"t] \quad$;
nelle derivate successive di $\int_0^x ln(1+t^2)" d"t$ che figurano all'ultimo membro sono presenti o la funzione $\int_0^x ln(1+t^2)" d"t$ (nella derivata di ordine zero $D^0$), o la funzione integranda $ln(1+x^2)$ (nella derivata prima $D^1$) oppure un'applicazione del tipo $(p_h(x))/(1+x^2)^(m_h)$, con $p_h(x)$ polinomiale ed $m_h \in NN$ (nelle derivate d'ordine $nu>=2$ $D^nu$): visto che i tre tipi di funzione appena citati sono continui in tutto $RR$ (infatti, la funzione integrale è banalmente continua; il logaritmo e le funzioni razionali pure, perchè argomento e denominatori sono positivi), l'unico punto "problematico" per la continuità della derivata $f^((n))$ è $0$, poiché esso annulla il denominatore dei fattori $((-1)^h h!)/x^(h+1)$.
Pertanto hai acquisito che $f$ è certamente di classe $C^oo$ in $RR\setminus \{0\}$.
Ora, per mostrare che $f\in C^oo(RR)$ basta terminare l'esercizio: infatti se riesci a provare che $f$ è somma di una serie di potenze di centro $0$, allora $f$ è "automaticamente" indefinitamente differenziabile in $0$ e, perciò, in tutto $RR$.
Grazie, sono riuscito a risolverlo. Però ho dei problemi nel risolvere un esercizio simile ma avente $f:\mathbb R \to \mathbb R$ tale che: $f(x)= \int_x^(+\infty) e^(-t^2)dt$ di cui devo dimostrare la sviluppabilità in serie di Taylor di punto iniziale $x_0=0$ in ogni punto $x\in\mathbb R$.
Io ho sviluppato in serie l'esponenziale dopodichè:
$f(x)=\int_x^(+\infty) e^(-t^2)dt = \int_x^(+\infty) \sum_(k=0)^\infty ((-t^2)^k)/(k!)dt = \int_x^(+\infty) \sum_(k=0)^\infty ((-1)^k t^(2k))/(k!)dt = \sum_(k=0)^\infty ((-1)^k)/(k!) \int_x^(+\infty) t^(2k) dt = \sum_(k=0)^\infty ((-1)^k)/(k!) [(t^(k+1))/(k+1)]_(t=x)^(t=+\infty) = lim_(\lambda \to +\infty) \sum_(k=0)^\infty ((-1)^k)/(k!) [(t^(k+1))/(k+1)]_(t=x)^(t=\lambda) = $
$ = lim_(\lambda \to +\infty) \sum_(k=0)^\infty ((-1)^k)/(k!) ( (\lambda^(k+1))/(k+1) - (x^(k+1))/(k+1)) = lim_(\lambda \to +\infty) \sum_(k=0)^\infty (-1)^k( (\lambda^(k+1))/((k+1)!) - (x^(k+1))/((k+1)!) )$
Ecco: ed ora non so proseguire. Come posso fare? Ho sbagliato qualcosa?
Io ho sviluppato in serie l'esponenziale dopodichè:
$f(x)=\int_x^(+\infty) e^(-t^2)dt = \int_x^(+\infty) \sum_(k=0)^\infty ((-t^2)^k)/(k!)dt = \int_x^(+\infty) \sum_(k=0)^\infty ((-1)^k t^(2k))/(k!)dt = \sum_(k=0)^\infty ((-1)^k)/(k!) \int_x^(+\infty) t^(2k) dt = \sum_(k=0)^\infty ((-1)^k)/(k!) [(t^(k+1))/(k+1)]_(t=x)^(t=+\infty) = lim_(\lambda \to +\infty) \sum_(k=0)^\infty ((-1)^k)/(k!) [(t^(k+1))/(k+1)]_(t=x)^(t=\lambda) = $
$ = lim_(\lambda \to +\infty) \sum_(k=0)^\infty ((-1)^k)/(k!) ( (\lambda^(k+1))/(k+1) - (x^(k+1))/(k+1)) = lim_(\lambda \to +\infty) \sum_(k=0)^\infty (-1)^k( (\lambda^(k+1))/((k+1)!) - (x^(k+1))/((k+1)!) )$
Ecco: ed ora non so proseguire. Come posso fare? Ho sbagliato qualcosa?
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