Sviluppabilità in serie di potenze in R

[Sagittarioromano]

Salve a tutti, non riesco a capire il controesempio della sviluppabilità in serie di potenze.

Io so che se mi trovo nel campo complesso, una funzione è sviluppabile in serie di Taylor se è Olomorfa e $C^1$ poichè questo mi dice che è $C^\infty$

Nel campo reale invece ho una condizione necessaria: $C^\infty$ ed una condizione sufficiente $|f^{(n)}(x)|intorno centrato in $x0$ e di raggio R.

E' giusto?

Poi un'altra domanda. Un controesempio che mi fa capire che serve la condizione $|f^{(n)}(x)|
$f(x)=$

$e^{-1/x^2}$ in $!=0$

$0$ $x=0$

mi potreste far capire perchè qui non c'è quella condizione?

Grazie

[chisigma]

La funzione...

$f(x) = e^{- \frac{1}{x^{2}}}\ x \ne 0, = 0\ x=0$ (1)

... non e' sviluppabile in serie di Taylor nell'intorno di x=0. Infatti deve esserci un intorno del punto x=0 per cui e'...

$f(x)= f(0) + f^{\ '}(0)\ x + \frac{f^{\ ''} (0)}{2}\ x^{2} +... + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\ x^{n} + R_{n}(x)$ (2)

... dove, cosa essenziale, ...

$\lim_{n \rightarrow \infty} R_{n}(x)=0$ (3)

Nel tuo caso per ogni n e' $f^{(n)}(0)=0$ per cui evidentemente in nessun intorno di x=0 la (3) e' verificata...

cordiali saluti

$\chi$ $\sigma$