Suriettività e invertibilità

[isolamaio]

posso chiedervi di aiutarmi a risolvere questo problema?
io non so risolverlo e vorrei il vostro aiuto
sia $h(x)=(x+1)e^(x^2)$
dimostrare che la funzione $h$ è suriettiva su $R$ e invertibile su tutto il dominio
so che l'invertibilità dipende dal fatto che la funzione è iniettiva e suriettiva allo stesso tempo.
ma come procedere? inoltre il dominio di $h$ non è tutto $R$? perchè si parla allora di suriettività su $R$ e invertibilità su tutto il dominio?
grazie a chiunque voglia darmi una mano

[Relegal]

"isolamaio":posso chiedervi di aiutarmi a risolvere questo problema?
io non so risolverlo e vorrei il vostro aiuto
sia $h(x)=(x+1)e^(x^2)$
dimostrare che la funzione $h$ è suriettiva su $R$ e invertibile su tutto il dominio
so che l'invertibilità dipende dal fatto che la funzione è iniettiva e suriettiva allo stesso tempo.
ma come procedere? inoltre il dominio di $h$ non è tutto $R$? perchè si parla allora di suriettività su $R$ e invertibilità su tutto il dominio?
grazie a chiunque voglia darmi una mano

Allora, innanzitutto la funzione è continua. Quindi, condizione sufficiente per l'invertibilità è la stretta monotonia.

[Lorin1]

Si il dominio è $RR$ e basta dimostrare che la funzione nel suo dominio è strettamente monotona, per dimostrare l'invertibilità

[Seneca1]

"isolamaio":dimostrare che la funzione $h$ è suriettiva su $R$

Credo che significhi che devi verificare che la funzione assume tutti i valori reali; ovvero che l'insieme immagine coincida con $RR$.

Non sono sicuro.

[isolamaio]

cioè bisogna dimostrare che se $x>x$ allora $f(x)>f(x)$ oppure $f(x)

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[Luca.Lussardi]

Non serve la suriettività per avere l'invertibilità. E' corretto quanto affermato da Lorin: basta mostrare la stretta monotonia, questa garanatisce l'iniettività, ovvero l'invertibilità.

[Seneca1]

Che sia corretto quanto affermato da Lorin, d'accordo. Ma se il testo è scritto correttamente, chiede due cose distinte (non richiede di verificare la suriettività per avere l'invertibilità).

[Seneca1]

"isolamaio":cioè bisogna dimostrare che se $x>x$ allora $f(x)>f(x)$ oppure $f(x)

Non è sempre facile così, applicando la definizione. La monotonia la puoi verificare rapidamente facendo la derivata di $f$. Sai derivare?


Per la questione della suriettività su $RR$, se ho capito bene quello che è richiesto, puoi verificarla ragionando sul comportamento della funzione in un intorno di infinito ( cioè calcoli i limiti per $ x -> +oo$ e per $x -> -oo$ ).

[isolamaio]

infatti l'esercizio vuole che si provi la suriettività della funzione su $R$ e l'invertibilità sul suo dominio.

oddio, la derivata?
devo fare la derivata di un prodotto di funzioni?
$D'= 1*e^x^2+(x+1)e^2x$
$=e^x^2+xe^2^x+e^2^x$
$=e^x^2+e^2^x(x+1)$

è corretto?
ma questo cosa mi dice?
potreste suggerire un metodo (il più pratico possibile)per affrontare questo tipo di esercizi?
voglio dire: di fronte a questi esercizi che ragionamento devo fare?

[Seneca1]

"isolamaio":infatti l'esercizio vuole che si provi la suriettività della funzione su $R$ e l'invertibilità sul suo dominio.
potreste suggerire un metodo (il più pratico possibile)per affrontare questo tipo di esercizi?
voglio dire: di fronte a questi esercizi che ragionamento devo fare?

Ragioni sui teoremi che hai "a disposizione".

(leggi il post precedente; l'ho modificato)