Superficie regolare
Assegnata la funzione $phi(u,v)=(u^2-v,ucosv,u+v)$ con $(u,v) \in [-2,1] times [-pi/2,pi/2]$,verificare che $phi$ è una superficie regolare e scrivere l'equazione del piano tangente in $phi(-1,0)$.
Per verificare che la superficie è regolare sono partito dal verificare che la funzione è di classe $c^1$.Non riesco però a provare l'invertibilità nei punti interni del dominio(mi basta provare che è iniettiva).L'iniettività devo provarla punto per punto?O ci sta un metodo generale?Per verificare che la matrice jacobiana ha rango 2,mi sono calcolato il determinante dei minori di ordine 2 che sono$A=cosv+usenv, B=-2u+1, C=-2u^2senv+cosv$ che sommati ed elevati al quadrato devono essere >0 ma non si semplifica nulla e quindi non riesco a provare nemmeno questa condizione.Come posso procedere?Grazie
Per verificare che la superficie è regolare sono partito dal verificare che la funzione è di classe $c^1$.Non riesco però a provare l'invertibilità nei punti interni del dominio(mi basta provare che è iniettiva).L'iniettività devo provarla punto per punto?O ci sta un metodo generale?Per verificare che la matrice jacobiana ha rango 2,mi sono calcolato il determinante dei minori di ordine 2 che sono$A=cosv+usenv, B=-2u+1, C=-2u^2senv+cosv$ che sommati ed elevati al quadrato devono essere >0 ma non si semplifica nulla e quindi non riesco a provare nemmeno questa condizione.Come posso procedere?Grazie
Risposte
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Vediamo: [tex]$\varphi_u=(2u,\ \cos v,\ 1),\ \varphi_v=(-1,\ -u\sin v,\ 1)$[/tex] per cui i minori risultano
[tex]$A=-2u^2\sin v+\cos v,\ B=2u+1,\ C=\cos v+u\sin v$[/tex]
Ti conviene verificare, direttamente, che non è mai possibile che si annullino tutti e tre. Infatti se [tex]$B=0\ \Rightarrow\ u=-1/2$[/tex] e quindi
[tex]$A=-\frac{1}{2}\sin v+\cos v,\ C=\cos v-\frac{1}{2}\sin v$[/tex]
Essendo in tal caso [tex]$A=C$[/tex] se uno dei due fosse zero dovresti avere [tex]$\tan v=2$[/tex] che è verificato per un valore [tex]$\gamma\in(0,\pi/2)$[/tex]. Per cui nel punto [tex]$P(-1/2,\gamma)$[/tex] la Jacobiana ha rango minore di 2 e la superficie non è regolare.
[tex]$A=-2u^2\sin v+\cos v,\ B=2u+1,\ C=\cos v+u\sin v$[/tex]
Ti conviene verificare, direttamente, che non è mai possibile che si annullino tutti e tre. Infatti se [tex]$B=0\ \Rightarrow\ u=-1/2$[/tex] e quindi
[tex]$A=-\frac{1}{2}\sin v+\cos v,\ C=\cos v-\frac{1}{2}\sin v$[/tex]
Essendo in tal caso [tex]$A=C$[/tex] se uno dei due fosse zero dovresti avere [tex]$\tan v=2$[/tex] che è verificato per un valore [tex]$\gamma\in(0,\pi/2)$[/tex]. Per cui nel punto [tex]$P(-1/2,\gamma)$[/tex] la Jacobiana ha rango minore di 2 e la superficie non è regolare.
grazie per la risposta sei stato chiarissimo.Solo un paio di cose tutto ciò significa che la superficie non è regolare dato che quel punto appartiene all'intervallo dato?quindi il piano tangente non posso scrivermelo giusto?Poi le considerazioni che hai fatto su A,B,C non dovrebbero essere fatte sui loro quadrati?grazie ancora
1) il piano tangente nel punto $(-1,0)$ puoi scriverlo, perché non è quello dove la curva non è regolare;
2) l'equazione $A^2+B^2+C^2=0$ è equivalente al sistema $A=0,\ B=0,\ C=0$, poiché la somma di tre quantità quadrate (quindi positive) è nulla solo se sono tutte e tre contemporaneamente nulle.
2) l'equazione $A^2+B^2+C^2=0$ è equivalente al sistema $A=0,\ B=0,\ C=0$, poiché la somma di tre quantità quadrate (quindi positive) è nulla solo se sono tutte e tre contemporaneamente nulle.
grazie 
"ciampax":
Vediamo: [tex]$\varphi_u=(2u,\ \cos v,\ 1),\ \varphi_v=(-1,\ -u\sin v,\ 1)$[/tex] per cui i minori risultano
[tex]$A=-2u^2\sin v+\cos v,\ B=2u+1,\ C=\cos v+u\sin v$[/tex]
Ti conviene verificare, direttamente, che non è mai possibile che si annullino tutti e tre. Infatti se [tex]$B=0\ \Rightarrow\ u=-1/2$[/tex] e quindi
[tex]$A=-\frac{1}{2}\sin v+\cos v,\ C=\cos v-\frac{1}{2}\sin v$[/tex]
Essendo in tal caso [tex]$A=C$[/tex] se uno dei due fosse zero dovresti avere [tex]$\tan v=2$[/tex] che è verificato per un valore [tex]$\gamma\in(0,\pi/2)$[/tex]. Per cui nel punto [tex]$P(-1/2,\gamma)$[/tex] la Jacobiana ha rango minore di 2 e la superficie non è regolare.
Scusate l'intrusione quindi per dimostrare che una curva è regolare basta dimostrare che il rango della matrice è massimo in ogni punto??????
thanks 
Superficie, non curva. E comunque, sì.
giusto scusa=(
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