Superficie regolare
ciao a tutti,ho questo esercizio:
sia $phi:(u,v)in{ (u,v)inR^2:u^2+v^2<=1}->(0,v,3u)$ dire se è regolare..
vedo che $phi$ è di classe $C^1$,ora per verificare che sia iniettiva all'interno: se $(u_1,v_1)!= (u_2,v_2)=>(0,v_1,3u_1)!=(0,v_2,3u_2)
poi verifico l'ultima condizione $partial_uphi^^partial_vphi=(-3,0,0)!=(0,0,0)
ho il dubbio sull'iniettività..si verifica in quel modo?
sia $phi:(u,v)in{ (u,v)inR^2:u^2+v^2<=1}->(0,v,3u)$ dire se è regolare..
vedo che $phi$ è di classe $C^1$,ora per verificare che sia iniettiva all'interno: se $(u_1,v_1)!= (u_2,v_2)=>(0,v_1,3u_1)!=(0,v_2,3u_2)
poi verifico l'ultima condizione $partial_uphi^^partial_vphi=(-3,0,0)!=(0,0,0)
ho il dubbio sull'iniettività..si verifica in quel modo?
Risposte
Va bene come hai fatto; equivalentemente, soprattutto in situazione più complicate, puoi far vedere che $\phi(u_1, v_1) = \phi(u_2, v_2)$ implica necessariamente $u_1= u_2$ e $v_1 = v_2$.
Nel tuo caso avresti
$(0, v_1, 3u_1) = (0, v_2, 3 u_2) => v_1 = v_2, 3u_1 = 3 u_2 => u_1 = u_2, v_1 = v_2$.
Nel tuo caso avresti
$(0, v_1, 3u_1) = (0, v_2, 3 u_2) => v_1 = v_2, 3u_1 = 3 u_2 => u_1 = u_2, v_1 = v_2$.
rigel grazie per la risposta,ma sembrava una cosa scontata e sempre verificata che se imponi $(a_1,b_1)!=(a_2,b_2)=>phi_(a_1,b_1)!=phi_(a_1,b_1)$ o viceversa con l'uguale come hai detto tu
Scontata in questo caso, ma non in generale.
Prendi $\phi(u,v) = (u,0,0)$, ad esempio; vedi subito che $\phi(u_1,v_1) = \phi(u_2,v_2)$ anche se $(u_1,v_1)\ne (u_2, v_2)$: ti basta prendere $u_1 = u_2$ mentre $v_1$ e $v_2$ possono essere scelti come ti pare.
Prendi $\phi(u,v) = (u,0,0)$, ad esempio; vedi subito che $\phi(u_1,v_1) = \phi(u_2,v_2)$ anche se $(u_1,v_1)\ne (u_2, v_2)$: ti basta prendere $u_1 = u_2$ mentre $v_1$ e $v_2$ possono essere scelti come ti pare.
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