Superficie parametrica
Volevo sapere come fare questo esercizio visto che non so come mai venga y=1 : Il piano tangente al sostegno della super cficie parametrica (u; v) = (e^(u+v); e^uv; u^2 + v) nel suo punto (1;1;0) è... ho fatto le derivate parziali e poi il prodotto vettore fra i due vettori parziali ma non so come fare dopo grazie.
Risposte
Inizia a trovare i valori di $u $ e $v $ che corrispondono al punto $ P(1,1,0)$.
Avrai :
$ x=e^(u+v)=1 rarr u+v=0 $
$ y=e^(uv)= 1 rarr uv=0 $
$ z= u^2+v=0 $
si deduce che $u=v=0 $
I vettori tangenti alle linee coordinate sono
$bar r_u =(x_u(0,0),y_u(0,0),z_u(0,0))= (1,0,0)$
$bar r_v=(x_v(0,0),y_v(0,0).z_v(0,0)) = (1,0,1)$
Il prodotto vettoriale tra $bar r_u ,bar r_v $ deve essere $ne 0 $ perché il piano tangente sia unico.
Infatti det $((bari,barj,bark),(1,0,0),(1,0,1)) = -bar j ne 0 $
Adesso devi scrivere l'equazione del piano tangente come prodotto scalare tra il vettore normale $bar n = -bar j $ e il generico vettore del piano tangente $(x-1),(y-1),(z-0)$ che esce dal punto P. prosegui tu....
N.B. Dopo 27 post devi usare le formule per rendere più intellegibile quello che scrivi , basta che premetti e segui il simbolo del dollaro usa.
Guarda qui come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html
Avrai :
$ x=e^(u+v)=1 rarr u+v=0 $
$ y=e^(uv)= 1 rarr uv=0 $
$ z= u^2+v=0 $
si deduce che $u=v=0 $
I vettori tangenti alle linee coordinate sono
$bar r_u =(x_u(0,0),y_u(0,0),z_u(0,0))= (1,0,0)$
$bar r_v=(x_v(0,0),y_v(0,0).z_v(0,0)) = (1,0,1)$
Il prodotto vettoriale tra $bar r_u ,bar r_v $ deve essere $ne 0 $ perché il piano tangente sia unico.
Infatti det $((bari,barj,bark),(1,0,0),(1,0,1)) = -bar j ne 0 $
Adesso devi scrivere l'equazione del piano tangente come prodotto scalare tra il vettore normale $bar n = -bar j $ e il generico vettore del piano tangente $(x-1),(y-1),(z-0)$ che esce dal punto P. prosegui tu....
N.B. Dopo 27 post devi usare le formule per rendere più intellegibile quello che scrivi , basta che premetti e segui il simbolo del dollaro usa.
Guarda qui come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html
ok grazie mi sto leggendo il post su come postare le formule in maniera adeguata e l'es non mi torn.volevo sapere un'ulteriore cosa,ma come faccio a vedere se il punto appartiene al sostegno,siccome una delle risposte possibili era il punto non appartiene al sostegno.
Il punto $P (1,1,0) $ appartiene al sostegno perché per come è definita la superficie in forma parametrica si ha che :
$ x=e^(u+v) $
$y=e^(uv) $
$ z= u^2+v $
Vediamo se esistono dei valori di $u, v $ che soddisfano le coordinate del punto P .
$e^(u+v)=1 $ quindi $u+v =0 $
$e^(uv)=1 $ quindi $ u*v=0 $
$ u^2+v =0 $
Dal sistema delle tre equazioni si deduce che $u=v=0 $ ok ?
$ x=e^(u+v) $
$y=e^(uv) $
$ z= u^2+v $
Vediamo se esistono dei valori di $u, v $ che soddisfano le coordinate del punto P .
$e^(u+v)=1 $ quindi $u+v =0 $
$e^(uv)=1 $ quindi $ u*v=0 $
$ u^2+v =0 $
Dal sistema delle tre equazioni si deduce che $u=v=0 $ ok ?
Ok in sostanza basta vedere se esistono dei valori per la quale le funzioni parametriche sono definite in quel punto,ok grazie.
Per determinare l'equazione del piano tangente alla superficie nel punto P basta scrivere che il prodotto scalare tra :
*il generico vettore $bar v $ giacente sul piano che cerchiamo $pi$ e uscente dal punto P , cioè $ bar v = (x-1),(y-1),(z-0)$
* e il vettore $ bar n = -bar j = ( 0,-1,0 ) $ normale alla superficie in P
è nullo , cioè equazione piano tangente $pi$ è data da $ (x-1),(y-1),(z-0) *(0,-1,0) =0 $ da cui
$-y+1 =0 rarr y=1 $ .
Ti consiglio di riguardare bene la teoria, o meglio ristudiare..
*il generico vettore $bar v $ giacente sul piano che cerchiamo $pi$ e uscente dal punto P , cioè $ bar v = (x-1),(y-1),(z-0)$
* e il vettore $ bar n = -bar j = ( 0,-1,0 ) $ normale alla superficie in P
è nullo , cioè equazione piano tangente $pi$ è data da $ (x-1),(y-1),(z-0) *(0,-1,0) =0 $ da cui
$-y+1 =0 rarr y=1 $ .
Ti consiglio di riguardare bene la teoria, o meglio ristudiare..
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