Superficie ottenuta dalla rotazione di una curva
allora ho una curvaγ:[1,2]->R2, γ (x)=(x,e^2x)
ruotando il sostegno di γ attorno all'asse x si ottiene una superficie S.
Devo determinare una parametrizzazione di S e stabilire se i vettori normali corrispondenti alla parametrizzazione trovata puntano verso l'interno o l'esterno del solido delimitato dalla superficie S
come trovo l'equazione cartesiana della superficie S, per ricavarmi quella parametrica?
ruotando il sostegno di γ attorno all'asse x si ottiene una superficie S.
Devo determinare una parametrizzazione di S e stabilire se i vettori normali corrispondenti alla parametrizzazione trovata puntano verso l'interno o l'esterno del solido delimitato dalla superficie S
come trovo l'equazione cartesiana della superficie S, per ricavarmi quella parametrica?
Risposte
Ma perché, quella parametrica non ti basta? Considera che quando ruoti attorno all'asse $x$, per ogni punto su tale asse fissato esso diventa il centro di una circonferenza di raggio la ordinata corrispondente. E poi ti faccio presente che se $\gamma=(x,e^{2x})$ mi pare ovvio che $y=f(x)=e^{2x}$... non ti pare????
quindi quando parametrizzo la superficie ho che
x=t t∈[1,2]
y=e^2t
z=?
x=t t∈[1,2]
y=e^2t
z=?
Ma tu lo sai come si scrive la forma parametrica di una superficie di rotazione, nota la funzione generatrice?
mm non ne sono sicuro
{x=t*cos(s)
{y=e^2t
{z=t*sin(s)
no?
{x=t*cos(s)
{y=e^2t
{z=t*sin(s)
no?
I punti dell'asse attorno al quale effettui la rotazione rimangono fissati, sono gli altri che ruotano. Se pensi agli assi coordinati in modo da disegnare $y$ e $z$ sul piano del foglio come si fa normalmente con un piano cartesiano, e l'asse $x$ uscente dal foglio, la rotazione antioraria (per esempio) della curva genera la superficie
$$r(t,\theta)=(t,e^{2t}\cos\theta,e^{2t}\sin\theta),\qquad t\in[1,2],\ \theta\in[0,2\pi]$$
$$r(t,\theta)=(t,e^{2t}\cos\theta,e^{2t}\sin\theta),\qquad t\in[1,2],\ \theta\in[0,2\pi]$$
perfetto, un 'ultima cosa.
Dopo l'esercizio mi chiede di calcolare ∫ ∫ ∫e^xdxdydz da calcolare su E in cui E è il solido delimitato dai piani x=1,x=2
e dalla superficie S
come posso esprimere l'insieme E?
r(t,θ,ρ)=(t,e^(2t)ρcosθ,e^(2t)ρsinθ) con t∈[1,2], θ∈[0,2π] e ρ∈?
Dopo l'esercizio mi chiede di calcolare ∫ ∫ ∫e^xdxdydz da calcolare su E in cui E è il solido delimitato dai piani x=1,x=2
e dalla superficie S
come posso esprimere l'insieme E?
r(t,θ,ρ)=(t,e^(2t)ρcosθ,e^(2t)ρsinθ) con t∈[1,2], θ∈[0,2π] e ρ∈?
$\rho\in[0,1]$, no?
a questo punto per calcolarne l'integrale ho bisogno del determinante della matrice jacobiana della trasformazione giusto?che dovrò moltiplicare per e^t?
Sì.... ma magari le domande tutte insieme, che ne dici? 
ahah scusami, in effetti avrei potuto chiederti tutto dall'inizio..grazie per la disponibilità!gentilissimo!
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