Superficie laterale di un tronco di cono a base ellittica
Se il perimetro dell'ellisse è dato da:
\(\displaystyle P=\pi \sqrt{2} a b \)
dove \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle b \) sono rispettivamente i semiassi maggiore e minore dell'ellisse,
è corretto pensare che la superficie laterale di un tronco di cono con base ellittica, con i semiassi che variano linearmente lungo l'asse di rotazione, possa essere ricavata per integrazione nel seguente modo?
1) Scelgo \(\displaystyle x \) come variabile di integrazione (l'asse \(\displaystyle x \) coincide con l'asse di rotazione del solido) e fisso gli estremi di integrazione da \(\displaystyle 0 \) a \(\displaystyle L \), dove quest'ultima grandezza è l'altezza del tronco (ossia la distanza tra le basi) fissata;
2) Scrivo l'equazione del perimetro dell'ellisse in funzione dei semiassi, che variano linearmente in funzione di x (rette):
\(\displaystyle P(x)=\pi \sqrt{2} a(x) b(x) \)
dove:
la retta \(\displaystyle y = a(x) = m_a x + q_a \) appartiene al piano \(\displaystyle xy \);
la retta \(\displaystyle z = b(x) = m_b x + q_b \) appartiene al piano \(\displaystyle xz \);
supponendo noti i parametri caratteristici di tali rette, ricavabili dai quattro valori dei semiassi relativi alle due basi ellittiche.
3) Integro il perimetro dell'ellisse rispetto a \(\displaystyle x \):
\(\displaystyle S_L = \pi\sqrt{2} \int_0^L \! a(x) b(x) \, \mathrm{d}x \)
Posso considerare questo integrale come la superficie laterale del tronco di cono che ho considerato?
\(\displaystyle P=\pi \sqrt{2} a b \)
dove \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle b \) sono rispettivamente i semiassi maggiore e minore dell'ellisse,
è corretto pensare che la superficie laterale di un tronco di cono con base ellittica, con i semiassi che variano linearmente lungo l'asse di rotazione, possa essere ricavata per integrazione nel seguente modo?
1) Scelgo \(\displaystyle x \) come variabile di integrazione (l'asse \(\displaystyle x \) coincide con l'asse di rotazione del solido) e fisso gli estremi di integrazione da \(\displaystyle 0 \) a \(\displaystyle L \), dove quest'ultima grandezza è l'altezza del tronco (ossia la distanza tra le basi) fissata;
2) Scrivo l'equazione del perimetro dell'ellisse in funzione dei semiassi, che variano linearmente in funzione di x (rette):
\(\displaystyle P(x)=\pi \sqrt{2} a(x) b(x) \)
dove:
la retta \(\displaystyle y = a(x) = m_a x + q_a \) appartiene al piano \(\displaystyle xy \);
la retta \(\displaystyle z = b(x) = m_b x + q_b \) appartiene al piano \(\displaystyle xz \);
supponendo noti i parametri caratteristici di tali rette, ricavabili dai quattro valori dei semiassi relativi alle due basi ellittiche.
3) Integro il perimetro dell'ellisse rispetto a \(\displaystyle x \):
\(\displaystyle S_L = \pi\sqrt{2} \int_0^L \! a(x) b(x) \, \mathrm{d}x \)
Posso considerare questo integrale come la superficie laterale del tronco di cono che ho considerato?
Risposte
Sì, il procedimento è lo stesso del calcolo della superficie laterale di un generico solido di rotazione; nota che questo che tu consideri non è un solido di rotazione, ma dovrebbe funzionare.
\(\displaystyle \)Quindi il tronco di cono ellittico non si può definire solido di rotazione dal momento che non vi è raggio uniforme rispetto all'angolo, giusto?
Seconda questione:
la formula per il perimetro dell'ellisse credo che non sia giusta.
Ho trovato varie formule online per il calcolo del perimetro dell'ellisse e tutte sono diverse:
1. \(\displaystyle P=\pi\sqrt{2}ab \)
2. \(\displaystyle P=\pi\sqrt{2(a^2+b^2)} \)
3. \(\displaystyle P=\pi[\frac{3(a+b)}{2}-\sqrt{ab}] \)
avendo capito che c'è molta confusione su questo argomento ho usato le "maniere forti".
Ho tentato di calcolare la lunghezza dell'arco di curva tramite la formula:
\(\displaystyle L(f, [a,b]) = \int_a^b{\sqrt{1+[f'(t)]^2}dt} \)
L'ellisse ha equazione:
\(\displaystyle x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 \)
da cui ottengo la funzione relativa alla parte superiore:
\(\displaystyle y=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2} \)
calcolo la derivata:
\(\displaystyle y'(x)=\frac{-bx}{a\sqrt{a^2-x^2}} \)
la lunghezza di 1/4 di arco di curva dovrebbe essere a questo punto:
\(\displaystyle L_{1/4}=\int_0^a \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}\frac{x^2}{a^2-x^2}}dx = \int_0^a \sqrt{\frac{a^2-x^2+ \frac{b^2 x^2}{a^2}}{a^2-x^2}}dx = \int_0^a \sqrt{\frac{a^2 + x^2(b^2/a^2 - 1)}{a^2-x^2}}dx \)
quindi il perimetro dell'ellisse dovrebbe valere:
\(\displaystyle P = 4 \int_0^a \sqrt{\frac{a^2 + x^2(b^2/a^2 - 1)}{a^2-x^2}}dx \)
Wolfram alpha mi restituisce:
\(\displaystyle \int \sqrt{\frac{a^2 + x^2(b^2/a^2 - 1)}{a^2-x^2}}dx = \frac{a\sqrt{1-x^2/a^2}\sqrt{\frac{a^4-a^2 x^2+b^2 x^2}{a^4-a^2 x^2}} \int_0^{\pi/2} \sqrt{1-(1-b^2/a^2)sin^2(\theta)}d\theta}{\sqrt{1+\frac{b^2 x^2}{a^4}-\frac{x^2}{a^2}}} \)
dove \(\displaystyle \theta = arcsin(x/a) \)
il che sembra essere un vicolo cieco...
in definitiva la domanda è: quale sarà mai la formula corretta per calcolare il perimetro dell'ellisse?
Seconda questione:
la formula per il perimetro dell'ellisse credo che non sia giusta.
Ho trovato varie formule online per il calcolo del perimetro dell'ellisse e tutte sono diverse:
1. \(\displaystyle P=\pi\sqrt{2}ab \)
2. \(\displaystyle P=\pi\sqrt{2(a^2+b^2)} \)
3. \(\displaystyle P=\pi[\frac{3(a+b)}{2}-\sqrt{ab}] \)
avendo capito che c'è molta confusione su questo argomento ho usato le "maniere forti".
Ho tentato di calcolare la lunghezza dell'arco di curva tramite la formula:
\(\displaystyle L(f, [a,b]) = \int_a^b{\sqrt{1+[f'(t)]^2}dt} \)
L'ellisse ha equazione:
\(\displaystyle x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 \)
da cui ottengo la funzione relativa alla parte superiore:
\(\displaystyle y=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2} \)
calcolo la derivata:
\(\displaystyle y'(x)=\frac{-bx}{a\sqrt{a^2-x^2}} \)
la lunghezza di 1/4 di arco di curva dovrebbe essere a questo punto:
\(\displaystyle L_{1/4}=\int_0^a \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}\frac{x^2}{a^2-x^2}}dx = \int_0^a \sqrt{\frac{a^2-x^2+ \frac{b^2 x^2}{a^2}}{a^2-x^2}}dx = \int_0^a \sqrt{\frac{a^2 + x^2(b^2/a^2 - 1)}{a^2-x^2}}dx \)
quindi il perimetro dell'ellisse dovrebbe valere:
\(\displaystyle P = 4 \int_0^a \sqrt{\frac{a^2 + x^2(b^2/a^2 - 1)}{a^2-x^2}}dx \)
Wolfram alpha mi restituisce:
\(\displaystyle \int \sqrt{\frac{a^2 + x^2(b^2/a^2 - 1)}{a^2-x^2}}dx = \frac{a\sqrt{1-x^2/a^2}\sqrt{\frac{a^4-a^2 x^2+b^2 x^2}{a^4-a^2 x^2}} \int_0^{\pi/2} \sqrt{1-(1-b^2/a^2)sin^2(\theta)}d\theta}{\sqrt{1+\frac{b^2 x^2}{a^4}-\frac{x^2}{a^2}}} \)
dove \(\displaystyle \theta = arcsin(x/a) \)
il che sembra essere un vicolo cieco...
in definitiva la domanda è: quale sarà mai la formula corretta per calcolare il perimetro dell'ellisse?
La formula corretta per calcolare il perimetro dell'ellisse che chiamiamo $ p $, dato $ a>b $, con $ a $ e $ b $ che rappresentano la METÀ degli assi dell'ellisse, dovrebbe essere: $ p=2piaE(e) $ con $ E(e) $ che sta per l'integrale ellittico di seconda specie in $ e $ ed $ e $ che sta per l'eccentricità dell'ellisse, dunque:
$ e=sqrt(1-(b/a)^2) $
Quindi:
$ E(e)=int_0^1sqrt((1-e^2x^2)/(1-x^2))dx $
Il perimetro dell'ellisse, sviluppato in serie, diventa:
$ p=2pia*{1-sum_{n=1}^{\infty}[(prod_{k=0}^{n-1}{2k+1}/{2(k+1)})^2*e^{2n}/{2n-1}]} $
sempre con $ e=sqrt(1-(b/a)^2) $
Purtroppo non esiste una formula "esatta" che non contenga integrali o sommatorie, dunque il risultato sarà SEMPRE un'approssimazione.
Per trovare una buona approssimazione con questa formula bisogna, per forza di cose, ricorrere a un computer (a meno che non si vogliano calcolare tutti i termini a mano fino a un numero abbastanza grande).
Per cui, se non si dispone di un buon calcolatore che possa fare velocemente questo lavoro, è necessario ricorrere a formule approssimative, come:
$ p=pisqrt(2(a^2+b^2) $;
$ p=pi[3(a+b)-sqrt((3a+b)(a+3b))] $;
$ p=pi{a+b+(3(a-b)sqrt(a+b))/(10sqrt(a+b)+sqrt(a+7b))} $;
Tutte e tre, purtroppo, funzionano bene per $ e $ vicino allo $ 0 $, mentre danno valori molto grossolani per $ e rarr 1$.
Una formuletta che ho trovato io e che calcola gli estremi ($ e=0 ^^ e =1$) in maniera esatta è:
$ p=2pi{1-[1-(2/pi)^varphi]*e^varphi}^(1/varphi) $
con $ varphi=(1/5)(pi-1)^pi $
inutile dire che questa diventa meno esatta con $ e rarr 1/2 $.
Potresti, magari far ricorso a delle tabelle che calcolano $ E(e) $; naturalmente, tenendo presente che $ E(e)=1-(p/2pi) $.
Ti lascio una tabellina che mostra i valori di $ E(e) $ per $ e=N/10 $ con $ N in mathbbN$, calcolati tramite la serie di Taylor da $ n=1 $ a $ n=1000 $
e-----E(e)
0-----0
0.1---0.00252
0.2---0.01014
0.3---0.02295
0.4---0.04137
0.5---0.06589
0.6---0.09731
0.7---0.13713
0.8---0.18764
0.9---0.25426
1-----0.36338 (il valore esatto sarebbe $ (pi-2)/pi $)
$ e=sqrt(1-(b/a)^2) $
Quindi:
$ E(e)=int_0^1sqrt((1-e^2x^2)/(1-x^2))dx $
Il perimetro dell'ellisse, sviluppato in serie, diventa:
$ p=2pia*{1-sum_{n=1}^{\infty}[(prod_{k=0}^{n-1}{2k+1}/{2(k+1)})^2*e^{2n}/{2n-1}]} $
sempre con $ e=sqrt(1-(b/a)^2) $
Purtroppo non esiste una formula "esatta" che non contenga integrali o sommatorie, dunque il risultato sarà SEMPRE un'approssimazione.
Per trovare una buona approssimazione con questa formula bisogna, per forza di cose, ricorrere a un computer (a meno che non si vogliano calcolare tutti i termini a mano fino a un numero abbastanza grande).
Per cui, se non si dispone di un buon calcolatore che possa fare velocemente questo lavoro, è necessario ricorrere a formule approssimative, come:
$ p=pisqrt(2(a^2+b^2) $;
$ p=pi[3(a+b)-sqrt((3a+b)(a+3b))] $;
$ p=pi{a+b+(3(a-b)sqrt(a+b))/(10sqrt(a+b)+sqrt(a+7b))} $;
Tutte e tre, purtroppo, funzionano bene per $ e $ vicino allo $ 0 $, mentre danno valori molto grossolani per $ e rarr 1$.
Una formuletta che ho trovato io e che calcola gli estremi ($ e=0 ^^ e =1$) in maniera esatta è:
$ p=2pi{1-[1-(2/pi)^varphi]*e^varphi}^(1/varphi) $
con $ varphi=(1/5)(pi-1)^pi $
inutile dire che questa diventa meno esatta con $ e rarr 1/2 $.
Potresti, magari far ricorso a delle tabelle che calcolano $ E(e) $; naturalmente, tenendo presente che $ E(e)=1-(p/2pi) $.
Ti lascio una tabellina che mostra i valori di $ E(e) $ per $ e=N/10 $ con $ N in mathbbN$, calcolati tramite la serie di Taylor da $ n=1 $ a $ n=1000 $
e-----E(e)
0-----0
0.1---0.00252
0.2---0.01014
0.3---0.02295
0.4---0.04137
0.5---0.06589
0.6---0.09731
0.7---0.13713
0.8---0.18764
0.9---0.25426
1-----0.36338 (il valore esatto sarebbe $ (pi-2)/pi $)
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