Superficie e grafico di una funzione
Come da titolo: Qual è la differenza tra grafico e superficie di una funzione? Cosa si intende per parametrizzazione di una funzione? Se ho una funzione $ f:RR^n->RR^m $ quale potrebbe essere una funzione che la parametrizza ?
Grazie.
Grazie.
Risposte
Non esiste la superficie di una funzione. Facciamo un po' d'ordine.
La funzione è un oggetto astratto, e non è legato a concetti di tipo geometrico a priori.
Possiamo però associare alcuni speciali insiemi ad una funzione. Ad esempio, data \(f:A \to B, \ x \mapsto y = f(x)\), possiamo definire la sua immagine:
\[\text{Im}(f) := \left\{ y \in B \ : \ \exists x \in A \ y = f(x)\right\} \subseteq B\]
E il suo grafico:
\[\text{G}(f) := \left\{ (x,y) \in A \times B \ : \ \exists x \in A \ y = f(x)\right\} \subseteq A \times B\]
___________
Ora, se ci caliamo nel mondo delle variabili reali possiamo, in alcuni casi, associare delle rappresentazioni grafiche a questi insiemi. Ad esempio, se \(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) il grafico rappresenterà un insieme dello spazio tridimensionale \(\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^3\) che, se sufficientemente regolare, chiamiamo superficie[nota]In realtà il nome superficie in matematica ha un significato ben più preciso.[/nota]. L'immagine di questa funzione sarà un sottoinsieme della retta reale \(\mathbb{R}\), di scarso interesse geometrico.
Consideriamo invece una funzione \(g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3\). Il grafico è un sottoinsieme di \(\mathbb{R}^5\), e quindi siamo ben lontani dal poterlo disegnare o visualizzare. L'immagine invece è interessante. Difatti \(\text{Im}(f) \subset \mathbb{R}^3\) e, se sufficientemente regolare, possiamo affibbiarle, un po' intuitivamente, il nome di superficie.
Le superfici definite dal grafico di una funzione, come nel primo caso, si dicono superfici cartesiane; quelle definite dall'immagine di una funzione si dico parametriche e la funzione che le definisce si dice parametrizzazione.
Un terzo insieme di interesse geometrico è l'insieme di livello, la fibra di un particolare elemento dell'immagine, che può essere una superficie.
Questo risponde più o meno alla prima domanda.
Non si parla di parametrizzare le funzioni ma bensì gli insiemi. Parametrizzare un insieme \(E\) significa trovare una funzione \(f: A \to E\) tale che \(\text{Im}(f) = E\).
Ho spiegato velocemente senza pretese di completezza, ti consiglio la lettura di un buon testo di Analisi II (vedi ad esempio Pagani Salsa vol 1/vol 2)
La funzione è un oggetto astratto, e non è legato a concetti di tipo geometrico a priori.
Possiamo però associare alcuni speciali insiemi ad una funzione. Ad esempio, data \(f:A \to B, \ x \mapsto y = f(x)\), possiamo definire la sua immagine:
\[\text{Im}(f) := \left\{ y \in B \ : \ \exists x \in A \ y = f(x)\right\} \subseteq B\]
E il suo grafico:
\[\text{G}(f) := \left\{ (x,y) \in A \times B \ : \ \exists x \in A \ y = f(x)\right\} \subseteq A \times B\]
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Ora, se ci caliamo nel mondo delle variabili reali possiamo, in alcuni casi, associare delle rappresentazioni grafiche a questi insiemi. Ad esempio, se \(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) il grafico rappresenterà un insieme dello spazio tridimensionale \(\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^3\) che, se sufficientemente regolare, chiamiamo superficie[nota]In realtà il nome superficie in matematica ha un significato ben più preciso.[/nota]. L'immagine di questa funzione sarà un sottoinsieme della retta reale \(\mathbb{R}\), di scarso interesse geometrico.
Consideriamo invece una funzione \(g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3\). Il grafico è un sottoinsieme di \(\mathbb{R}^5\), e quindi siamo ben lontani dal poterlo disegnare o visualizzare. L'immagine invece è interessante. Difatti \(\text{Im}(f) \subset \mathbb{R}^3\) e, se sufficientemente regolare, possiamo affibbiarle, un po' intuitivamente, il nome di superficie.
Le superfici definite dal grafico di una funzione, come nel primo caso, si dicono superfici cartesiane; quelle definite dall'immagine di una funzione si dico parametriche e la funzione che le definisce si dice parametrizzazione.
Un terzo insieme di interesse geometrico è l'insieme di livello, la fibra di un particolare elemento dell'immagine, che può essere una superficie.
Questo risponde più o meno alla prima domanda.
"Meetmat":
Cosa si intende per parametrizzazione di una funzione? Se ho una funzione $ f:RR^n->RR^m $ quale potrebbe essere una funzione che la parametrizza ?
Non si parla di parametrizzare le funzioni ma bensì gli insiemi. Parametrizzare un insieme \(E\) significa trovare una funzione \(f: A \to E\) tale che \(\text{Im}(f) = E\).
Ho spiegato velocemente senza pretese di completezza, ti consiglio la lettura di un buon testo di Analisi II (vedi ad esempio Pagani Salsa vol 1/vol 2)
Bella spiegazione. Ho visto che il Pagani-Salsa ne parla (e credo anche in modo chiaro), è solo che ora come ora non ho molto tempo per poterlo studiare; spero in futuro di riuscirci.
Grazie.
Grazie.
Ho fatto una panoramica generale, se hai altre domande chiedi pure 
Una domandina ce l'avrei. Quando mi hai parlato della parametrizzazione sull'insieme A non possiamo dire nulla ?
Era quello su cui mi interrogavo prima tra me e me. Non saprei se ci devono essere delle richieste particolari sull'insieme. Normalmente, nella applicazioni geometriche, l'insieme è un sottoinsieme di \(\mathbb{R}^k\). In questo caso \(k\) rappresenta in qualche modo i gradi di libertà che avrebbe una particella vincolata al tuo insieme \(\text{Im}(r)\) (\(r\) è la parametrizzazione). Ad esempio con \(k=1\) si parla di curva parametrica, con \(k = 2\) si parla di superficie, etc...
Proverò a chiedere al mio professore, in ogni caso grazie.
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