Superficie calotta ipersferica
Salve a tutti,
ho bisogno di calcolare la superficie di una calotta sferica ad n dimensioni, per una ipersfera di raggio r.
Sia S_n una ipersfera ad n dimensioni centrata nell'origine, sia v un versore giacente sulla sfera, qual'è la superficie del luogo dei punti sulla ipersfera che ha un prodotto scalare con v maggiore di un certo valore t? Si noti che t può essere considerato come il coseno di un'angolo, quindi una formulazione equivalente consiste nel descrivere la calotta con l'angolo theta che la sottende.
Grazie a tutti!
Matteo
ho bisogno di calcolare la superficie di una calotta sferica ad n dimensioni, per una ipersfera di raggio r.
Sia S_n una ipersfera ad n dimensioni centrata nell'origine, sia v un versore giacente sulla sfera, qual'è la superficie del luogo dei punti sulla ipersfera che ha un prodotto scalare con v maggiore di un certo valore t? Si noti che t può essere considerato come il coseno di un'angolo, quindi una formulazione equivalente consiste nel descrivere la calotta con l'angolo theta che la sottende.
Grazie a tutti!
Matteo
Risposte
Iniziamo dalle cose "semplici", ovvero al mondo 3d, dove tutti vediamo di cosa si sta parlando.
Il problema in 3d diventa quello di calcolare l'area di una calotta sferica sottesa da un angolo solido di apertura $\theta_1$.
Quello che faccio per calcolarne l'area è di partire dall'angolo zero, e di integrare delle circonferenze di raggio $2\pi r \sin\theta$, che moltiplicate per $d\theta$, mi danno una superficie infinitesima, da integrare, appunto.
In formule:
$\int_0^(\theta_1) 2\pi r \sin\theta d\theta = 2\pi r (1-\cos\theta_1)$
Nota che per $\theta=\pi$ si ha metà della superficie della sfera ($2\pi$), per $\theta=\pi$ si la superficie della sfera ($4\pi$).
Ora, se voglio generalizzare al caso n-dimensionale, dico che integro delle ipersfere di dimensione $n-1$ (la circonferenza è una ipersfera di dimensione 2) e di raggio $r sin \theta$.
$\int_0^(\theta_1) V_(n-1)(r \sin\theta) d\theta$
Il volume $V_(n-1)(r)$ dell'ipersfera di dimensioni n-1 ce lo danno qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Ipersfera.
Il problema in 3d diventa quello di calcolare l'area di una calotta sferica sottesa da un angolo solido di apertura $\theta_1$.
Quello che faccio per calcolarne l'area è di partire dall'angolo zero, e di integrare delle circonferenze di raggio $2\pi r \sin\theta$, che moltiplicate per $d\theta$, mi danno una superficie infinitesima, da integrare, appunto.
In formule:
$\int_0^(\theta_1) 2\pi r \sin\theta d\theta = 2\pi r (1-\cos\theta_1)$
Nota che per $\theta=\pi$ si ha metà della superficie della sfera ($2\pi$), per $\theta=\pi$ si la superficie della sfera ($4\pi$).
Ora, se voglio generalizzare al caso n-dimensionale, dico che integro delle ipersfere di dimensione $n-1$ (la circonferenza è una ipersfera di dimensione 2) e di raggio $r sin \theta$.
$\int_0^(\theta_1) V_(n-1)(r \sin\theta) d\theta$
Il volume $V_(n-1)(r)$ dell'ipersfera di dimensioni n-1 ce lo danno qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Ipersfera.
Bellissimo, chiarissimo, semplicissimo, elegantissimo.
Grazie mille!!
Grazie mille!!
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