Superfici laterali di solidi di rotazione
Ciao!devo fare il seguente esercizio
data la sfera $x^2+y^2+z^2=a^2$ e presi $-a<=h_1
l'area dell porzione di cilindro considerata è $2\pia(h_2-h_1)$
ora cerco di calcolare quella del segmento sferico
parametrizzo l'arco verde nell'immgine e ho
$\{(y=acos(t)),(z=asen(t)):}$ con $arcsen(h_1)
$d=\int_{arcsen(h_1)}^{arcsen(h_2)} y |\gamma'(t)|dt$
ora $\gamma'(t)=(acos(t),asen(t))'=(-asen(t),acos(t))$
da cui $|\gamma'(t)|=a$
dunque $d=\int_{arcsen(h_1)}^{arcsen(h_2)}acos(t)*adt=a^2(h_2-h_1)$
ora,visto che per ottenere il segmento circolare devo ruotare l'arco verde di $2\pi$
quindi la superficie finale è $2\pia^2(h_2-h_1)$
però ho una $a$ di troppo!!!
dove sbaglio?facile che abbia sbagliato il procedimento perchè non ho esempi a riguardo
data la sfera $x^2+y^2+z^2=a^2$ e presi $-a<=h_1
l'area dell porzione di cilindro considerata è $2\pia(h_2-h_1)$
ora cerco di calcolare quella del segmento sferico
parametrizzo l'arco verde nell'immgine e ho
$\{(y=acos(t)),(z=asen(t)):}$ con $arcsen(h_1)
$d=\int_{arcsen(h_1)}^{arcsen(h_2)} y |\gamma'(t)|dt$
ora $\gamma'(t)=(acos(t),asen(t))'=(-asen(t),acos(t))$
da cui $|\gamma'(t)|=a$
dunque $d=\int_{arcsen(h_1)}^{arcsen(h_2)}acos(t)*adt=a^2(h_2-h_1)$
ora,visto che per ottenere il segmento circolare devo ruotare l'arco verde di $2\pi$
quindi la superficie finale è $2\pia^2(h_2-h_1)$
però ho una $a$ di troppo!!!
dove sbaglio?facile che abbia sbagliato il procedimento perchè non ho esempi a riguardo
Risposte
Sai che sinceramente non ho capito cosa sia $d$?
ah scusa,sto cercando di applicare il teorema di Guldino per il calcolo delle superfici di solidi di rotazione
hai ragione,mi sono spiegata proprio male
hai ragione,mi sono spiegata proprio male
Sbagli gli intervalli di integrazione: prendi il punto di intersezione tra la circonferenza e la retta $z=h_1$. Allora, usando la parametrizzazione scritta, si ha che
$$h_1=a\sin t\qquad\Rightarrow\qquad t=\arcsin\left(\frac{h_1}{a}\right)$$
non ti pare?
$$h_1=a\sin t\qquad\Rightarrow\qquad t=\arcsin\left(\frac{h_1}{a}\right)$$
non ti pare?
hai perfettamente ragione,ti ringrazio
allora senti,già che ci sono ti mostro un altro esercizio dello stesso tipo..
spero che il problema non sia un errore scemo come quello di questo...
ho da calcolare l'area di $x^2/a^2+y^2/a^2+z^2/c^2=1$
ho osservato che si tratta della rotazione della seguente curva attorno a z
parametrizzo la curva come
$ \{(y=acos(t)),(z=csen(t)):} $ con $-\pi/2<=t<=\pi/2$
quindi
$ d=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} y|\gamma'(t)|dt $
$ \gamma'(t)=(acos(t),csen(t))'=(-asen(t),c*cos(t)) $
$ |\gamma'(t)|=sqrt(a^2(sen(t))^2+c^2(cos(t))^2) $
$ d=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} csen(t)sqrt(a^2(sen(t))^2+c^2(cos(t))^2)dt $
che come integrale mi pare alquanto bruttino
ammesso che fin quì sia tutto corretto,come mi consigli di sistemare?
spero che il problema non sia un errore scemo come quello di questo...
ho da calcolare l'area di $x^2/a^2+y^2/a^2+z^2/c^2=1$
ho osservato che si tratta della rotazione della seguente curva attorno a z
parametrizzo la curva come
$ \{(y=acos(t)),(z=csen(t)):} $ con $-\pi/2<=t<=\pi/2$
quindi
$ d=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} y|\gamma'(t)|dt $
$ \gamma'(t)=(acos(t),csen(t))'=(-asen(t),c*cos(t)) $
$ |\gamma'(t)|=sqrt(a^2(sen(t))^2+c^2(cos(t))^2) $
$ d=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} csen(t)sqrt(a^2(sen(t))^2+c^2(cos(t))^2)dt $
che come integrale mi pare alquanto bruttino
ammesso che fin quì sia tutto corretto,come mi consigli di sistemare?
Effettivamente così viene fuori un integrale ellittico. Devi usare per forza Guldino, o puoi usare qualsiasi strada?
nel testo dell'esercizio chiede di osservare che si tratta di un solido di rotazione ed è dopo esempi sul teorema di Guldino,quindi penso che l'esercizio sia stato concepito per usare quel teorema
Da qualunque parte lo si guardi, alla fine è necessario calcolare un integrale ellittico. Mi pare strano. Forse si può ragionare in qualche modo diverso, ma al momento non mi viene in mente.
vabbè dai,intanto mi accontento di non aver sbagliato,grazie mille
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