Superfici in $\mathbb{R}^n$
Ho una quantità infinita di dubbi sull'argomento, che spero di poter chiarire pian piano col vostro aiuto.
Parto dalla definizione: una superficie di dimensione \(\displaystyle k \) in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) è un sottinsieme \(\displaystyle S\subset\mathbb{R}^n \) in cui ogni punto $x_0\in S$ ha un intorno (in $S$) \(\displaystyle U_S(x_0)=U_{\mathbb{R}^n}(x_0)\cap S \) omeomorfo a un aperto di \(\displaystyle \mathbb{R}^k \).
Ognuno di questi omeomorfismi lo chiamo 'carta' e per comodità (visto che lo posso fare in qualunque caso) identifico l'aperto di \(\displaystyle \mathbb{R}^k \) che compare nella definizione come il cubo unitario aperto \(\displaystyle I^k \).
Dunque una generica carta sarà un omeomorfismo \(\displaystyle \varphi:I^k\to U_S(x_0) \).
Primo dubbio: un omeomorfismo è una funzione continua con inversa continua, dunque deve mappare aperti del dominio in aperti del codominio e viceversa. Di conseguenza dovrebbe essere che \(\displaystyle U_S(x_0) \) è un aperto in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \)?
Parto dalla definizione: una superficie di dimensione \(\displaystyle k \) in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) è un sottinsieme \(\displaystyle S\subset\mathbb{R}^n \) in cui ogni punto $x_0\in S$ ha un intorno (in $S$) \(\displaystyle U_S(x_0)=U_{\mathbb{R}^n}(x_0)\cap S \) omeomorfo a un aperto di \(\displaystyle \mathbb{R}^k \).
Ognuno di questi omeomorfismi lo chiamo 'carta' e per comodità (visto che lo posso fare in qualunque caso) identifico l'aperto di \(\displaystyle \mathbb{R}^k \) che compare nella definizione come il cubo unitario aperto \(\displaystyle I^k \).
Dunque una generica carta sarà un omeomorfismo \(\displaystyle \varphi:I^k\to U_S(x_0) \).
Primo dubbio: un omeomorfismo è una funzione continua con inversa continua, dunque deve mappare aperti del dominio in aperti del codominio e viceversa. Di conseguenza dovrebbe essere che \(\displaystyle U_S(x_0) \) è un aperto in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \)?
Risposte
Pensandoci ancora a fondo, potrebbe essere che la risposta sia la seguente.
\( \displaystyle U_S(x_0) \) è uno spazio topologico, con topologia indotta da \(\displaystyle \mathbb{R}^n \), vale a dire che ogni aperto $O'$ di \( \displaystyle U_S(x_0) \) è della forma \(\displaystyle O\cap U_S(x_0) \), dove \(\displaystyle O \) è un aperto di \(\displaystyle \mathbb{R}^n \).
Dunque il fatto che \(\displaystyle \varphi \) mappi aperti in aperti è vero e effettivamente non crea nessun paradosso.
E' corretto ciò che ho scritto?
\( \displaystyle U_S(x_0) \) è uno spazio topologico, con topologia indotta da \(\displaystyle \mathbb{R}^n \), vale a dire che ogni aperto $O'$ di \( \displaystyle U_S(x_0) \) è della forma \(\displaystyle O\cap U_S(x_0) \), dove \(\displaystyle O \) è un aperto di \(\displaystyle \mathbb{R}^n \).
Dunque il fatto che \(\displaystyle \varphi \) mappi aperti in aperti è vero e effettivamente non crea nessun paradosso.
E' corretto ciò che ho scritto?
Per risponderti, ti faccio un esempio. Considera l'asse \(x\) immerso nel piano. È una \(1\)-superficie nel senso da te detto prima. Un intervallo aperto di quella retta è un aperto del piano?
No, per cui questo esempio sembra avvalorare quanto ho scritto nel secondo messaggio, giusto?
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