Superfici e parametrizzazione

[xnix]

Salve a tutti è da un po che non mi cimento
avrei un "problemino"

dunque scrivo l'esercizio:

$[s=(x,y,z) in R^3 : 9x^2 + y^2 <= 9, z = x-y ]$

determinare una superficie $\sigma$ che abbia $S$ come supporto, e calcolare

$\int int_\sigma f dA$

con $f : RR^3 \to RR$ definita da $f(x,y,z) = z$

dunque pensavo di risolvere l'esercizio parametrizzando la superficie $S$ come
$\{(x=cos (t)), (y=9 sen(t)):}$

però sostituendo nell'integrale doppio ho .

$\int int_\sigma (cos (t)- 9 sen(t)) * sqrt((cos^2x) + (81 sen x)) dA$

ma non so se il procedimento è corretto... inoltre non so come impostare gli estremi di integrazione

[l'abatefarina]

ma tu così hai semplicemente parametrizzato l'ellisse curva (neanche l'ellisse piena)
sono anni che non risolvo un'integrale superficiale ma dovrebbe essere così:
partiamo dalla parametrizzazione immediata
$P=P(x,y)=(x,y,x-y),(x,y)in D$ con $D$ ellisse piena relativa a $9x^2+y^2<=9$
dalla teoria si sa che l'integrale che vuoi calcolare è
$ int int_(D) f(P(x,y))sqrt(g_x^2+g_y^2+1)dxdy $ con $g(x,y)=x-y$
qundi vuol dire che devi calcolare
$ int int_(D) sqrt(3)(x-y)dxdy $
parametrizzando $D$ in questo modo
$-1<=x<=1; -3sqrt(1-x^2)<=y<=3sqrt(1-x^2)$
hai l'integrale doppio
$ int_(-1)^(1) dxint_(-3sqrt(1-x^2))^(3sqrt(1-x^2) )sqrt(3)(x-y)dy $ che è molto semplice