Superfici e convergenza dominata di Lebesgue
Non capisco questi due punti delle mie dispense di Analisi II
1)Questo primo punto riguarda il calcolo dell'area di superfici. Solo che non capisco a che cosa si riferisce con $\Phi _{u}$ e $\Phi_{v}$, di cui devo calcolare i coefficienti della forma fondamentale per l'equazione parametrica della sfera.
2)In questo secondo punto non capisco un passaggio della dimostrazione del teorema della convergenza dominata di Lebesgue.
Non riesco proprio a capire da cosa siano formati gli insiemi $B_{k}$, e conseguentemente del perché $\bigcup_{k} B_{k}=B$
1)Questo primo punto riguarda il calcolo dell'area di superfici. Solo che non capisco a che cosa si riferisce con $\Phi _{u}$ e $\Phi_{v}$, di cui devo calcolare i coefficienti della forma fondamentale per l'equazione parametrica della sfera.
2)In questo secondo punto non capisco un passaggio della dimostrazione del teorema della convergenza dominata di Lebesgue.
Non riesco proprio a capire da cosa siano formati gli insiemi $B_{k}$, e conseguentemente del perché $\bigcup_{k} B_{k}=B$
Risposte
1) $\Phi_u$ è la derivata parziale di $\Phi$ rispetto a $u$; analogamente per $\Phi_v$.
2) Mi sembra ben spiegato tra parentesi.
2) Mi sembra ben spiegato tra parentesi.
1) Ok, ma che cos'è $\Phi$? Facendo riferimento all'esempio.
2) Ma non riesco a figurare cosa siano queste $x$ dell'insieme $B_{k}$. A parole, sono le $x$ per cui la successione di funzioni è vicina al suo limite. Al variare della costante $k$ non varia questa condizione di vicinanza. Più $k$ è grande è più la condizione mi sembra stringente. Ovvero ci saranno semore meno $x$ dato che ci avviciniamo al limite
2) Ma non riesco a figurare cosa siano queste $x$ dell'insieme $B_{k}$. A parole, sono le $x$ per cui la successione di funzioni è vicina al suo limite. Al variare della costante $k$ non varia questa condizione di vicinanza. Più $k$ è grande è più la condizione mi sembra stringente. Ovvero ci saranno semore meno $x$ dato che ci avviciniamo al limite
1) Ma [tex]\Phi[/tex] sarà una parametrizzazione della superficie, no?!?
2) Non capisco cosa tu non abbia capito.
2) Non capisco cosa tu non abbia capito.
1) Ma è proprio queso che non capisco. Che forma ha questa parametrizzazione? Da dove se la tira fuori quando calcola le costanti della sfera partendo dalla sua equazione parametrica: $(r\cos u \cos v,\ r\sin u \sin v,\ r \sin v)$ ?
2) Non pui spiegarlmelo a parole di cosa sono fatti gli insiemi $B_{k}$ e del perché delle condizioni più stringenti?
2) Non pui spiegarlmelo a parole di cosa sono fatti gli insiemi $B_{k}$ e del perché delle condizioni più stringenti?
1) Per avere la superficie della sfera di raggio $r$ devi mettere $\Phi(u,v)=(rcos u cos v,r sin u cos v, r sin v)$, con $(u,v) \in [0,2\pi) \times [0,\pi]$.
2) Comincia a dimostrare che $B_k \subset B_{k+1}$ usando la definizione di $B_k$.
2) Comincia a dimostrare che $B_k \subset B_{k+1}$ usando la definizione di $B_k$.
1)Grazie mille.
2)Ho capito finalmente, ma è stato veramento penoso. Ora voglio chiederti, era così difficile darmi un indizio in più rispetto a quelli che già avevo? O scrivere direttamente quello che contiente il seguito del mio messaggio?
Ho ragionato non come nelle schede, ma direttamente secondo definizione. Sostituendo $\delta$ alla precedente.
$B_{k}=\{x\in B : |f(x)-f_{n}(x)|<\delta, \forall n\geq k \}$
Questa esprime una condizione di intersezione. Si avrà ad esempio per $k=1, 2, +\infty$
$B_{1}=\{x\in B : |f(x)-f_{1}(x)|<\delta \cap |f(x)-f_{2}(x)|<\delta \cap |f(x)-f_{3}(x)|<\delta \cap |f(x)-f_{4}(x)|<\delta , ecc }$
$B_{1}=\{x\in B : |f(x)-f_{2}(x)|<\delta \cap |f(x)-f_{3}(x)|<\delta \cap |f(x)-f_{4}(x)|<\delta , ecc }$
$B_{+\infty}=\{x\in B : |f(x)-f(x)|<\delta}$
La prima condizione è più restrittiva perché intersezione di una infinità di condizioni. Alla seconda riga vediamo che cavando già un elemento l'insieme potenzialmente cresce. Alla terza riga vediamo che per definizione $B_{+\infty}$ contiene tutte le $x$ di $B$. Si ha quindi non solo che $\bigcup_{k}B_{k}=B$ ma più semplicemente $B_{+\infty}=B$?
2)Ho capito finalmente, ma è stato veramento penoso. Ora voglio chiederti, era così difficile darmi un indizio in più rispetto a quelli che già avevo? O scrivere direttamente quello che contiente il seguito del mio messaggio?
Ho ragionato non come nelle schede, ma direttamente secondo definizione. Sostituendo $\delta$ alla precedente.
$B_{k}=\{x\in B : |f(x)-f_{n}(x)|<\delta, \forall n\geq k \}$
Questa esprime una condizione di intersezione. Si avrà ad esempio per $k=1, 2, +\infty$
$B_{1}=\{x\in B : |f(x)-f_{1}(x)|<\delta \cap |f(x)-f_{2}(x)|<\delta \cap |f(x)-f_{3}(x)|<\delta \cap |f(x)-f_{4}(x)|<\delta , ecc }$
$B_{1}=\{x\in B : |f(x)-f_{2}(x)|<\delta \cap |f(x)-f_{3}(x)|<\delta \cap |f(x)-f_{4}(x)|<\delta , ecc }$
$B_{+\infty}=\{x\in B : |f(x)-f(x)|<\delta}$
La prima condizione è più restrittiva perché intersezione di una infinità di condizioni. Alla seconda riga vediamo che cavando già un elemento l'insieme potenzialmente cresce. Alla terza riga vediamo che per definizione $B_{+\infty}$ contiene tutte le $x$ di $B$. Si ha quindi non solo che $\bigcup_{k}B_{k}=B$ ma più semplicemente $B_{+\infty}=B$?
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