Superfici
Siano date le due superfici:
$S_1 : 2x^2+2y^2-z^2$ ed $S_2 : (x-y)^2+z=2$
1) Descrivere le due superfici abbozzandone un disegno.
2) Sia ora $\Gamma=S_1 \cap S_2$. Tentare una descrizione della curva.
3) Trovare l'equazione della retta tangente a gamma nel punto (1, 0, 1).
4) Trovare i punti di gamma che sono stazionari per la funzione $f(x,y,z)=z$.
5) Trovare la proiezione ortogonale di gamma sul piano z=0.
Dunque per i primi 2 punti non ci sono problemi.
Per il terzo:
Per determinare l'equazione della retta pensavo di trovarmi il vettore tangente. Per trovare questo vettore pensavo i trovarmi i due gradienti delle due curve rispettivamente e farne il prodotto vettoriale visto che il vettore tangente deve essere perpendicolare ad entrambi. È corretto?
Per il quarto punto devo considerare le due superfici come vincoli? Ad esempio usando i moltiplicatori di Lagrange?
$L=f(x,y,z)-\lambda S_1 -\mu S_2$
Trattando $S_1$ ed $S_2$ in forma implicita o meglio come g(x,y,z) e h(x,y,z).
Se volessi classificare tali punti mi basta studiare il determinante della matrice delle derivate seconde simmetrica calcolato nei punti stazionari? Se questo fosse uguale a zero come mi devo comportare?
Per il quinto chiedo aiuto su tutta la linea per favore.
Grazie a chiunque risponda.
$S_1 : 2x^2+2y^2-z^2$ ed $S_2 : (x-y)^2+z=2$
1) Descrivere le due superfici abbozzandone un disegno.
2) Sia ora $\Gamma=S_1 \cap S_2$. Tentare una descrizione della curva.
3) Trovare l'equazione della retta tangente a gamma nel punto (1, 0, 1).
4) Trovare i punti di gamma che sono stazionari per la funzione $f(x,y,z)=z$.
5) Trovare la proiezione ortogonale di gamma sul piano z=0.
Dunque per i primi 2 punti non ci sono problemi.
Per il terzo:
Per determinare l'equazione della retta pensavo di trovarmi il vettore tangente. Per trovare questo vettore pensavo i trovarmi i due gradienti delle due curve rispettivamente e farne il prodotto vettoriale visto che il vettore tangente deve essere perpendicolare ad entrambi. È corretto?
Per il quarto punto devo considerare le due superfici come vincoli? Ad esempio usando i moltiplicatori di Lagrange?
$L=f(x,y,z)-\lambda S_1 -\mu S_2$
Trattando $S_1$ ed $S_2$ in forma implicita o meglio come g(x,y,z) e h(x,y,z).
Se volessi classificare tali punti mi basta studiare il determinante della matrice delle derivate seconde simmetrica calcolato nei punti stazionari? Se questo fosse uguale a zero come mi devo comportare?
Per il quinto chiedo aiuto su tutta la linea per favore.
Grazie a chiunque risponda.
Risposte
Ciao. Sul punto 5 sentiamo anche qualcun altro, che non mi esce un'idea adeguata.
Devi aver dimenticato qualcosa mentre descrivevi la prima superficie, ovvero un secondo membro.
Suppongo comunque che fosse [tex]$2x^2+2y^2-z^2=0$[/tex].
3) La strategia del terzo punto mi pare buona, anche perché i gradienti sono tutti facili da calcolare, avendo dei polinomi.
4) E' corretto. Come saprai, della funzione [tex]$L$[/tex] devi calcolare e annullare il gradiente. Hai quindi 5 equazioni.
Per la classificazione dei punti, in realtà io non conosco troppo bene il metodo di Lagrange.
Tuttavia in questo caso mi chiedo di che matrice parli, l'Hessiana? In questo caso dove la prendi l'hessiana?
Noto anche che l'esercizio ti chiede i semplici punti stazionari.
Osservazione a margine: puoi notare subito, a cause del vincolo [tex]$(x-y)^2+z=2$[/tex], cioè [tex]$(x-y)^2=2-z$[/tex], che deve valere [tex]$2-z \ge 0$[/tex] ovvero [tex]$z \le 2$[/tex].
Quindi a prescindere puoi dire subito che 2 è max assoluto per [tex]$f$[/tex]
5)
Devo rifletterci un attimo come dicevo, non ho mai incontrato direttamente il problema.
L'idea sarebbe quella di parametrizzare in qualche modo la curva, cioè scrivere [tex]$t \to (x(t), y(t), z(t))$[/tex] e quindi considerare l'applicazione
[tex]$(x(t), y(t), z(t))\to (x(t), y(t), 0)$[/tex]
Cioè ogni punto "abbassarlo" al piano [tex]$z=0$[/tex].
Tuttavia una parametrizzazione decente e facile non l'ho trovata, di primo impatto.
Ciao, buona serata.
Devi aver dimenticato qualcosa mentre descrivevi la prima superficie, ovvero un secondo membro.
Suppongo comunque che fosse [tex]$2x^2+2y^2-z^2=0$[/tex].
3) La strategia del terzo punto mi pare buona, anche perché i gradienti sono tutti facili da calcolare, avendo dei polinomi.
4) E' corretto. Come saprai, della funzione [tex]$L$[/tex] devi calcolare e annullare il gradiente. Hai quindi 5 equazioni.
Per la classificazione dei punti, in realtà io non conosco troppo bene il metodo di Lagrange.
Tuttavia in questo caso mi chiedo di che matrice parli, l'Hessiana? In questo caso dove la prendi l'hessiana?
Noto anche che l'esercizio ti chiede i semplici punti stazionari.
Osservazione a margine: puoi notare subito, a cause del vincolo [tex]$(x-y)^2+z=2$[/tex], cioè [tex]$(x-y)^2=2-z$[/tex], che deve valere [tex]$2-z \ge 0$[/tex] ovvero [tex]$z \le 2$[/tex].
Quindi a prescindere puoi dire subito che 2 è max assoluto per [tex]$f$[/tex]
5)
Devo rifletterci un attimo come dicevo, non ho mai incontrato direttamente il problema.
L'idea sarebbe quella di parametrizzare in qualche modo la curva, cioè scrivere [tex]$t \to (x(t), y(t), z(t))$[/tex] e quindi considerare l'applicazione
[tex]$(x(t), y(t), z(t))\to (x(t), y(t), 0)$[/tex]
Cioè ogni punto "abbassarlo" al piano [tex]$z=0$[/tex].
Tuttavia una parametrizzazione decente e facile non l'ho trovata, di primo impatto.
Ciao, buona serata.
Per il punto 5) potresti fare la costruzione classica di un cilindro, utilizzando la curva $\Gamma$ come curva direttrice e definire le rette generatrici in modo tale da proiettare $\Gamma$ su $z=0$.
Inanzitutto grazie ad entrambi per le risposte.
@Steven:
Si mi sono dimenticato di mettere =1 nella prima definizione della superficie. Ma credo sia di poca rilevanza ai fini del procedimento.
Per il quarto punto lascia stare la mia domanda di classificare i punti, riflettendoci la domanda era stupida. L'Hessiana effettivamente non saprei come costruirla.
Grazie per la dritta $z\leq 2$, delle volte non vedo ciò che è ovvio.
Per il punto 5 l'idea di parametrizzare sembra buona, non saprei però come arrivare a farne una che mi consenta di lavorare bene.
@Alexp: Ti spiacerebbe darmi un input su come trovare tale equazione? Te ne sarei grato davvero.
Grazie mille ancora ad entrambi.
————————————————————
Se mi è consentito vorrei chiedere qui un altro dubbio che mi tormenta da qualche tempo. Spesso mi è capitato di dover risolvere un problema di questo tipo (vi pongo solo il punto in questione):
Si consideri la superficie $S$ di equazione:
$z^2-1=x^2+y^2$
Determinare le equazioni delle rette normali alla superficie $S$ nei punti di quota $h>1$ sopra il piano $xy$.
Trovare l'equazione della curva formata dai punti di intersezione di queste rette con il piano $xy$.
Il problema più grosso è determinare l'equazione della curva del secondo punto.
Il primo io lo risolvo ponendo:
$h^2-1=x^2+y^2$
da cui ricavo le coordinate di un punto generico $P\equiv (x_0, y_0, h)$. (Chiaro che posso ricavare ad esempio $y_0$ con la condizione di appartenenza alla superficie).
Dopodiché trovo il gradiente della curva, e lo calcolo sul punto $P$.
Adesso non saprei proprio come fare a trovarmi l'equazione del cono (perché questo è) che mi consente di determinare la curva intersecandosi con il piano $xy$.
Mi conviene passare in coordinate cilindriche data la simmetria della superficie? Potrebbe essere più semplice?
Intendo dire:
$r^2=z^2-1$
Avrei la coordinata $\theta$ muta. Ma posso trovare il gradiente di tale curva in coordinate cilindriche? (scusate se la domanda è molto stupida). In teoria se io trovassi il gradiente in questo sistema di riferimento dovrei riuscire ad ottenere un vettore gradiente che non dipende da $\theta$. Imponendo $z=h$ dovrei poter trovare l'equazione del cono in coordinate cilindriche.
È assurda come ipotesi di soluzione?
Grazie sempre a coloro che risponderanno.
@Steven:
Si mi sono dimenticato di mettere =1 nella prima definizione della superficie. Ma credo sia di poca rilevanza ai fini del procedimento.
Per il quarto punto lascia stare la mia domanda di classificare i punti, riflettendoci la domanda era stupida. L'Hessiana effettivamente non saprei come costruirla.
Grazie per la dritta $z\leq 2$, delle volte non vedo ciò che è ovvio.
Per il punto 5 l'idea di parametrizzare sembra buona, non saprei però come arrivare a farne una che mi consenta di lavorare bene.
@Alexp: Ti spiacerebbe darmi un input su come trovare tale equazione? Te ne sarei grato davvero.
Grazie mille ancora ad entrambi.
————————————————————
Se mi è consentito vorrei chiedere qui un altro dubbio che mi tormenta da qualche tempo. Spesso mi è capitato di dover risolvere un problema di questo tipo (vi pongo solo il punto in questione):
Si consideri la superficie $S$ di equazione:
$z^2-1=x^2+y^2$
Determinare le equazioni delle rette normali alla superficie $S$ nei punti di quota $h>1$ sopra il piano $xy$.
Trovare l'equazione della curva formata dai punti di intersezione di queste rette con il piano $xy$.
Il problema più grosso è determinare l'equazione della curva del secondo punto.
Il primo io lo risolvo ponendo:
$h^2-1=x^2+y^2$
da cui ricavo le coordinate di un punto generico $P\equiv (x_0, y_0, h)$. (Chiaro che posso ricavare ad esempio $y_0$ con la condizione di appartenenza alla superficie).
Dopodiché trovo il gradiente della curva, e lo calcolo sul punto $P$.
Adesso non saprei proprio come fare a trovarmi l'equazione del cono (perché questo è) che mi consente di determinare la curva intersecandosi con il piano $xy$.
Mi conviene passare in coordinate cilindriche data la simmetria della superficie? Potrebbe essere più semplice?
Intendo dire:
$r^2=z^2-1$
Avrei la coordinata $\theta$ muta. Ma posso trovare il gradiente di tale curva in coordinate cilindriche? (scusate se la domanda è molto stupida). In teoria se io trovassi il gradiente in questo sistema di riferimento dovrei riuscire ad ottenere un vettore gradiente che non dipende da $\theta$. Imponendo $z=h$ dovrei poter trovare l'equazione del cono in coordinate cilindriche.
È assurda come ipotesi di soluzione?
Grazie sempre a coloro che risponderanno.
Allora vediamo un po'... ti mostro il procedimento in generale, poi i conti te li lascio volentieri 
prendi una curva $h$ nella forma $\{(f(x;y;z)=0), (g(x;y;z)=0):}$ (che è quello che hai tu)
poi $v=(l,m,n)$ un vettore (tu devi scegliere un vettore che sia ortogonale al piano $z=0$) e $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ un punto su $h$.
La curva $h$ si dice direttrice, mentre la retta che parte da $P_0$ e parallela a $v$, prende il nome di generatrice del cilindro.
Le equazioni della retta per $P_0$ e parallela a $v$ sono: $\{(x=x_0+l t),(y=y_0+mt),(z=z_0+nt):}$ dove,
le coordinate di $P_0$ devono rispettare le identità $\{(f(x_0;y_0;z_0)=0),(g(x_0;y_0;z_0)=0):}$
Considerando il sistema: $\{(x=x_0+l t),(y=y_0+mt),(z=z_0+nt),(f(x_0;y_0;z_0)=0),(g(x_0;y_0;z_0)=0):}$
ed eliminando i parametri $x_0$, $y_0$, $z_0$ e $t$, si ottiene l'equazione cartesiana del cilindro.
A questo punto prendi la tua equazione del cilindro e la intersechi con il piano $z=0$, la curva che ottieni è la proiezione ortogonale della curva $h$ sul piano $z=0$.
Oppure come ti ha suggerito "Steven", estrapoli l'equazione parametrica della curva $h$ e consideri nulla la coordinata $z$.
Ciao
prendi una curva $h$ nella forma $\{(f(x;y;z)=0), (g(x;y;z)=0):}$ (che è quello che hai tu)
poi $v=(l,m,n)$ un vettore (tu devi scegliere un vettore che sia ortogonale al piano $z=0$) e $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ un punto su $h$.
La curva $h$ si dice direttrice, mentre la retta che parte da $P_0$ e parallela a $v$, prende il nome di generatrice del cilindro.
Le equazioni della retta per $P_0$ e parallela a $v$ sono: $\{(x=x_0+l t),(y=y_0+mt),(z=z_0+nt):}$ dove,
le coordinate di $P_0$ devono rispettare le identità $\{(f(x_0;y_0;z_0)=0),(g(x_0;y_0;z_0)=0):}$
Considerando il sistema: $\{(x=x_0+l t),(y=y_0+mt),(z=z_0+nt),(f(x_0;y_0;z_0)=0),(g(x_0;y_0;z_0)=0):}$
ed eliminando i parametri $x_0$, $y_0$, $z_0$ e $t$, si ottiene l'equazione cartesiana del cilindro.
A questo punto prendi la tua equazione del cilindro e la intersechi con il piano $z=0$, la curva che ottieni è la proiezione ortogonale della curva $h$ sul piano $z=0$.
Oppure come ti ha suggerito "Steven", estrapoli l'equazione parametrica della curva $h$ e consideri nulla la coordinata $z$.
Ciao
Grandioso!!! Funzionaaaaaaaaaa!! Grazie $10^{15\pi}$
Per quell'altro problemino? Idee? Scusate se vi disturbo.... Perdonate la mia ignoranza.
Per quell'altro problemino? Idee? Scusate se vi disturbo.... Perdonate la mia ignoranza.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo