Sup, Inf, Max, Min: come si trovano?
Vorrei capire il metodo per trovare gli estremi, sup e inf, il massimo e il minimo di un insieme dato.
Io ho notato che facendo il limite della funzione che denota l'insieme e facendo tendere la x agli estremi del dominio ottengo il risultato voluto, ma nella spiegazione si dice un altro metodo.
Io ho notato che facendo il limite della funzione che denota l'insieme e facendo tendere la x agli estremi del dominio ottengo il risultato voluto, ma nella spiegazione si dice un altro metodo.
Risposte
Innanzitutto sup,inf, massimo e minimo di che cosa?di una funzione o di una successione?
Seconda cosa dipende dalla funzione/successione che hai, ovvero se è monotona crescente/decrescente, ecc nel domino dato.
Seconda cosa dipende dalla funzione/successione che hai, ovvero se è monotona crescente/decrescente, ecc nel domino dato.
Ad esempio questo insieme:
${(x^2+1)/(x^2-1)| x in\mathbb R, x>=0,x$ diverso da $1}$
Quali sono il sup, inf, il massimo e il minimo, se esistono?
${(x^2+1)/(x^2-1)| x in\mathbb R, x>=0,x$ diverso da $1}$
Quali sono il sup, inf, il massimo e il minimo, se esistono?
Devi fare un rapido studio della funzione nel suo insieme di definizione, in questo per $x>=0$ cioè:
limiti agli estremi ($0$ e $+\infty$ in questo caso), studio della derivata prima per capire come cresce e decresce questa funzione, ma soprattuto bisogna studiare come si comporta la funzione nel punto di discontinuità, studiando limite destro e sinistro!
limiti agli estremi ($0$ e $+\infty$ in questo caso), studio della derivata prima per capire come cresce e decresce questa funzione, ma soprattuto bisogna studiare come si comporta la funzione nel punto di discontinuità, studiando limite destro e sinistro!
Il professore non aveva utilizzato i limiti, conosci un altro metodo?
In ogni caso grazie per questo
In ogni caso grazie per questo
Ti faccio notare che
$(x²+1)/(x²-1)=1+2/(x²-1)$...
Il tuo insieme è limitato superiormente o inferiormente?
$(x²+1)/(x²-1)=1+2/(x²-1)$...
Il tuo insieme è limitato superiormente o inferiormente?
"Indrjo Dedej":
Ti faccio notare che
$(x²+1)/(x²-1)=1+2/(x²-1)$...
Il tuo insieme è limitato superiormente o inferiormente?
Come lo capisco?
Pensavo di farti notare che $h(x):=2/(x²-1)$ non è né limitato superiormente né inferiormente.
Adesso che ci ho pensato un altro po' e sono di fronte al computer, ti propongo questo procedimento.
Inanzitutto poniamo $f(x):=(x^2 +1)/(x^2 -1)=1+ 2/(x^2 -1)$. Ora si nota facilmente quanto segue:
1. $forall alpha >1 exists x in RR_0^+ -{1}, f(x)> alpha $
2. $forall beta <1 exists x in RR_0^+ -{1}, f(x)< beta $.
La (1) equivale a risolvere questa catena di desequazioni
$f(x)>alpha >1$
da cui abbiamo
$1
Per la (2) invece ho
$f(x)
L'insieme $A:={f(x) : x >=0 ^^ x ne 1}$ e illimitato sia superiormente che inferiormente in $RR$. Però se tu stai lavorando in $RR cup {-oo;+oo}$ puoi dire $text{sup} (A)=+ oo$ e $text{inf}(A)=-oo$.
Inanzitutto poniamo $f(x):=(x^2 +1)/(x^2 -1)=1+ 2/(x^2 -1)$. Ora si nota facilmente quanto segue:
1. $forall alpha >1 exists x in RR_0^+ -{1}, f(x)> alpha $
2. $forall beta <1 exists x in RR_0^+ -{1}, f(x)< beta $.
La (1) equivale a risolvere questa catena di desequazioni
$f(x)>alpha >1$
da cui abbiamo
$1
Per la (2) invece ho
$f(x)
L'insieme $A:={f(x) : x >=0 ^^ x ne 1}$ e illimitato sia superiormente che inferiormente in $RR$. Però se tu stai lavorando in $RR cup {-oo;+oo}$ puoi dire $text{sup} (A)=+ oo$ e $text{inf}(A)=-oo$.
Non capisco perché si notano facilmente 1. e 2.
"Datolo":
Non capisco perché si notano facilmente 1. e 2.
Cosa non ti è chiaro? Può darsi che non mi sia fatto intendere.
Nel primo caso non ho fatto altro che risovere una disequazione. In particolare segue che per ogni $alpha>1$ posso trovare almeno un $x in RR$ per cui $f(x)>alpha$.
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