Sup, inf e aperto/chiuso

[alessioben]

Ciao,
vi riporto qui un esercizio che non riesco a risolvere.
Ammetto che non ho ben chiari i problemi che riguardano sup, inf, insiemi aperti, chiusi.. eppure ho studiato e capito la teoria. Vi chiedo di suggerirmi il procedimento da seguire, perché quelle due condizioni (dell'es. qui sotto) non so come combinarle.

Sia A il sottoinsieme di R definito da
$ A={x in R : x>0 , sin(1/x)>=0} $

a) Qual è l'inf di A?
b) Per quali $ alpha in R $ l'insieme $ (alpha, + ∞) nn A $ è aperto?
c) Per quali $ alpha in R $ l'insieme $ (- ∞, alpha) nn A $ è chiuso?

Soluzioni:
a) $ 0 $
b) $ alpha>=1/pi $
c) $ alpha<=0 $

[Mephlip]

Ciao! Innanzitutto, puoi stabilire esplicitamente chi è $A$: fallo.

[alessioben]

$ 0<=x<=1/pi $
è corretto? Se sì allora mi è chiaro perché $ 0 $ sia l'inf

[Mephlip]

No, puoi controllare da solo che è sbagliato: $\frac{2}{3\pi} \in \left[0,\frac{1}{\pi}\right]$, ma $\sin \frac{1}{\frac{2}{3\pi}}=-1 \notin A$. Se non riesci a stabilire correttamente chi è $A$, non puoi procedere.

[alessioben]

$ 1/(2pik)<=x<=1/(pi(2k+1) $ con $ k in N $

Così?

[Mephlip]

A parte il coefficiente $2$ che moltiplica i $k$ sì, però quelle sono le disuguaglianze che caratterizzano tutti e soli gli elementi di $A$ al variare di $k\in\mathbb{N}\setminus \{0\}$. Come si scrive tale descrizione con le disuguaglianze al variare di $k\in\mathbb{N}\setminus \{0\}$ in forma di insieme? È fondamentale per il tuo problema.

[alessioben]

Scriverei la stessa cosa ma con le parentesi quadre.. mi sfugge quello che intendi

[Mephlip]

"alessioben":Scriverei la stessa cosa ma con le parentesi quadre

Quindi $A$ è un intervallo?

[alessioben]

Un'unione infinita di intervalli

[Mephlip]

Sì, esatto:
$$A=\bigcup_{k=1}^\infty \left[\frac{1}{(k+1)\pi},\frac{1}{k\pi}\right]$$
Dunque, iniziamo a stabilirne l'estremo inferiore (che esiste in $\mathbb{R}$, essendo $A$ inferiormente limitato da $0$ e non vuoto perché $\frac{1}{\pi} \in A$). Dobbiamo esibire un minorante e, se riusciamo a dimostrare che tale minorante è il massimo dei minoranti, allora quel minorante è l'estremo inferiore. Qual è un candidato minorante di $A$? Ad esempio, uno è $0$ perché l'unione è composta da intervalli i cui elementi sono esclusivamente numeri positivi. Detto $m\in\mathbb{R}$ un minorante di un certo insieme $B\subseteq\mathbb{R}$ non vuoto e inferiormente limitato, un modo per dimostrare che $m$ è il massimo dei minoranti di $B$ è dimostrare che per ogni $\epsilon>0$ esiste $b_\epsilon \in B$ tale che $b_\epsilon0$ esiste $a_\epsilon \in A$ tale che $a_\epsilon<\epsilon$.

L'idea intuitiva del perché questo è vero è che, "se vai abbastanza in là con l'unione (ossia, se $k$ è abbastanza grande)", gli intervalli $I_k:=\left[\frac{1}{(k+1)\pi},\frac{1}{k\pi}\right]$ si "addensano" intorno a $0$ con gli elementi di $I_k$ che si avvicinano arbitrariamente a $0$. Quindi, dato ad arbitrio $\epsilon>0$ fissato, riesci a trovare un elemento in un certo $I_{k_0}$ che sta sotto $\epsilon$. Prova a formalizzarlo.

Forse questo esercizio è un po' troppo difficile se, come hai premesso, non hai una certa esperienza con questi argomenti.

[alessioben]

Un candidato è $ 0 $
Per dimostrare che è il massimo dei minoranti significa che $ AA epsilon > 0 EE x in A : x < L +epsilon $
Nel nostro caso $ L = 0 $

[Mephlip]

Sì, esatto. Guarda qui:

"Mephlip":L'idea intuitiva del perché questo è vero è che, "se vai abbastanza in là con l'unione (ossia, se $k$ è abbastanza grande)", gli intervalli $I_k := \left[\frac{1}{(k+1)\pi},\frac{1}{k\pi}\right]$ si "addensano" intorno a $0$ con gli elementi di $I_k$ che si avvicinano arbitrariamente a $0$. Quindi, dato ad arbitrio $\epsilon>0$ fissato, riesci a trovare un elemento in un certo $I_{k_0}$ che sta sotto $\epsilon$. Prova a formalizzarlo.

[alessioben]

Non sono sicuro ma.. se prendiamo una $ epsilon<1/pi $ abbiamo la tesi dimostrata

[Mephlip]

Non chiede quello la definizione di $0$ come estremo inferiore di $A$. Chiede di esibire un certo $a_\epsilon \in A$ che soddisfa $a_\epsilon<\epsilon$ per ogni $\epsilon>0$. Non c'è alcun elemento di $A$ esibito nel tuo ragionamento.

Facciamo un esercizio più semplice. Prova a dimostrare che $\text{inf} \{\frac{1}{n} \ \text{t.c.} \ n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\}=0$.

[alessioben]

Sia $ B={n in N : 1/n } $
$ AA epsilon >0 EE b in B t.c. b < epsilon $
Questo quando $ n > 1/ epsilon $

[Mephlip]

Praticamente quasi tutto corretto: l'unico dettaglio è che devi prendere $N_\epsilon=\ceil \frac{1}{\epsilon}$ perché, dalla definizione dell'insieme, $N_\epsilon$ deve essere un elemento di $\mathbb{N}\setminus \{0\}$ e $\frac{1}{\epsilon}$ può non essere intero positivo in base a chi è $\epsilon$. Con $\ceil{u}$ indico la parte intera superiore di $u$, ossia il minimo intero maggiore o uguale di $u$.

Allora, procediamo con l'insieme $A$. Prima di procedere con la formalizzazione, facciamo una brutta copia della dimostrazione (la metto nascosta qui sotto).

Vogliamo che esista un elemento di $A$ che stia sotto $\epsilon>0$ arbitrario e che stia in $A$. Un elemento di $A$ è un elemento dell'unione numerabile sugli $I_k$, e stare in un'unione significa stare in almeno uno degli insiemi che compongono l'unione; quindi, un elemento $x$ di $A$ è un elemento per cui esiste almeno un $k_0\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$ tale che $x\in I_{k_0}$. Osserviamo ora che se l'estremo destro $\frac{1}{k\pi}$ di $I_k$, essendo il più grande elemento dell'intervallo $I_k$, è minore di $\epsilon>0$ arbitrario per un certo $k$, abbiamo concluso perché gli $I_k$ sono chiusi e quindi basta prendere $\frac{1}{k\pi} \in I_{k}$. Dato che $\frac{1}{k\pi}\to 0^+$ per $k\to+\infty$, certamente se prendiamo $k$ abbastanza grande risulta $\frac{1}{k\pi}<\epsilon$. Meglio ancora: possiamo risolvere esplicitamente per $k$ la disequazione $\frac{1}{k\pi}<\epsilon$, e da tale disequazione deduciamo che ogni $k>\frac{1}{\pi \epsilon}$ funziona (ma il limite, secondo me, è più intuitivo). Quindi, ogni $k \in \mathbb{N}\setminus \{0\}$ tale che $k \ge \ceil\frac{1}{\pi \epsilon}+1$ assicura che per ogni $\epsilon>0$ è $\frac{1}{k\pi}<\epsilon$ e $\frac{1}{k\pi}\in A$. Ma a noi ce ne basta uno di $k$, perciò $k_0=\ceil \frac{1}{\pi \epsilon}+1$ funziona.

Rigorosamente: per ogni $a \in A$, è $0 \le a$ e quindi $0$ è un minorante di $A$. Sia $\epsilon>0$ arbitrario. Posto $k_0=\ceil \frac{1}{\pi \epsilon}+1$, allora $\frac{1}{k_0 \pi}<\epsilon$. Inoltre, $\frac{1}{k_0 \pi} \in \left[\frac{1}{(k_0+1)\pi},\frac{1}{k_0 \pi}\right]$ e, essendo $k_0\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$, segue che $\frac{1}{k_0 \pi} \in \bigcup_{k=1}^\infty \left[\frac{1}{(k+1)\pi},\frac{1}{k \pi}\right]=A$. Ossia, per ogni $\epsilon>0$ esiste $\frac{1}{k_0 \pi} \in A$ tale che $\frac{1}{k_0\pi}<\epsilon$. Perciò, $0$ è il massimo dei minoranti di $A$; ovverosia, $\text{inf} \ A=0$.

Come vedi, è una versione leggermente sofisticata di quello che ti ho fatto fare prima: bisognava giusto avere un po' di dimestichezza col concetto di unione.

Per quanto riguarda le altre due richieste, che studi? Perché io, quando studiavo fisica, nonostante avessi dato tutti gli esami di matematica della triennale non sapevo una mazza di aperti e chiusi (a parte poche cose fondamentali, di cui comunque avevo dimestichezza pressoché nulla non usandole mai). Ad esempio, sai che l'insieme vuoto è sia aperto che chiuso? Sai che l'unione arbitraria di aperti è aperta e l'intersezione arbitraria di chiusi è chiusa? Che l'intersezione finita di aperti è aperta e l'unione finita di chiusi è chiusa?

[Alin2]

"Mephlip": $A=\bigcup_{k=1}^\infty \left[\frac{1}{(k+1)\pi},\frac{1}{k\pi}\right]$

Scusate se mi intrometto, ma l'argomento mi interessa.
Non va bene se si scrive
$A=\bigcup_{k=1}^\infty \left[\frac{1}{(2k+1)\pi},\frac{1}{2\pi k}\right]$
Grazie mille

[Mephlip]

@Alin: Sì, hai ragione: ho sbagliato io . Scusatemi. Fortunatamente, a patto di modificare qualche coefficiente, la logica della dimostrazione non cambia e quindi si fa tutto nella stessa maniera!