Sup e inf di una funzione
Salve a tutti!
Ho la seguente funzione $f(x)=(5e^x)/(1+e^(2x))$.
Intanto devo dimostrare se essa è limitata nel suo campo di esistenza. il campo di esistenza è tutto R; per cui ho calcolato i limiti per x->-infinito e per x->+infinito e mi risultano entrambi zero, il mio dubbio è se è giusto concludere che essendo finiti tali limiti la funzione è limitata.
Inoltre devo determinare estremo superiore ed estremo inferiore ma non so come fare....
Ho la seguente funzione $f(x)=(5e^x)/(1+e^(2x))$.
Intanto devo dimostrare se essa è limitata nel suo campo di esistenza. il campo di esistenza è tutto R; per cui ho calcolato i limiti per x->-infinito e per x->+infinito e mi risultano entrambi zero, il mio dubbio è se è giusto concludere che essendo finiti tali limiti la funzione è limitata.
Inoltre devo determinare estremo superiore ed estremo inferiore ma non so come fare....
Risposte
"nicknumberten":E si che è giusto, ma perché? Se vuoi è un corollario del teorema di Weierstrass, ma lo devi enunciare a modino.
Salve a tutti!
Ho la seguente funzione $f(x)=(5e^x)/(1+e^(2x))$.
Intanto devo dimostrare se essa è limitata nel suo campo di esistenza. il campo di esistenza è tutto R; per cui ho calcolato i limiti per x->-infinito e per x->+infinito e mi risultano entrambi zero, il mio dubbio è se è giusto concludere che essendo finiti tali limiti la funzione è limitata.
Inoltre devo determinare estremo superiore ed estremo inferiore ma non so come fare....
A questo serve il famigerato studio di funzione. Disegna un grafico qualitativo di \(f\) e da là capisci tutto quello che c'è da capire.
per calcolare l'estremo superiore e l'estremo inferiore ti serve lo studio della derivata prima...se trovi qualche massimo o minimo (assoluto eh non relativo!) quelli sarenno rispettivamente il tuo estremo superiore ed estremo inferiore (attenzione però parlare di "estremi" è sbagliato se i punti appartengono al dominio perchè in quel caso sono dei veri e proprio massimi e minimi) se invece ad esempio trovassi +infinito o -infinito quelli sarebbero dei veri e proprio estremi (superiore ed inferiore).
la funzione y=x ha sup +oo e inf -oo in R
la funzione y=x ha max 5 e min -3 in [-3;5]
la funzione y=x ha sup 5 e min -3 in (-3;5)
spero sia tutto chiaro
la funzione y=x ha sup +oo e inf -oo in R
la funzione y=x ha max 5 e min -3 in [-3;5]
la funzione y=x ha sup 5 e min -3 in (-3;5)
spero sia tutto chiaro
Quindi è giusto dire che siccome la funzione è continua nel dominio allora essa è limitata?
per determinare gli estremi evo sempre fare il grafico?
per determinare gli estremi evo sempre fare il grafico?
"nicknumberten":Questo basterebbe se il dominio fosse un intervallo chiuso e limitato. Siccome così non è devi verificare anche i limiti agli estremi: dal momento che essi esistono e sono finiti, allora la funzione è limitata. Questi sono, rispettivamente, il teorema di Weierstrass e un suo corollario.
Quindi è giusto dire che siccome la funzione è continua nel dominio allora essa è limitata?
per determinare gli estremi evo sempre fare il grafico?
Si. Ti basta fermarti alla derivata prima però, non ti servono informazioni su convessità e concavità.
Ecco volevo dire quello che hai scritto sul teorema ma ho accorciato! XD
Comunque mi è tutto chiaro! Grazie tanto!
Comunque mi è tutto chiaro! Grazie tanto!
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