Sup e inf di un insieme a due variabili irrazionali

[michele.demasi.92]

Salve a tutti, ho un problema con un esercizio, che non ho la minima idea da dove cominciare.
ho un insieme A
A={p/q , con p,q \(\displaystyle \in \!R meno \!Q \) e 0 devo trovare l'estremo superiore e inferiore, considerando che si tratta di numeri irrazionali
non so che fare
Grazie mille

[bosmer-votailprof]

Ciao Michele1997, e benvenuto.
Allora ti provo a dare un primo consiglio, per prima cosa cambia i nomi alle lettere così ti confondi meno.
Chiama $p=x$ e $q=y$, e poi dimenticati che $x$ e $y$ sono irrazionali e prova prima a risolverlo facendo finta che siano numeri reali, quindi fai un disegno delle condizioni. Infine scrivi $\frac{p}{q}=k$.

Vedi se con questi suggerimenti ti si sblocca qualcosa, altrimenti scrivi ancora

[michele.demasi.92]

"Bossmer":Ciao Michele1997, e benvenuto.
Allora ti provo a dare un primo consiglio, per prima cosa cambia i nomi alle lettere così ti confondi meno.
Chiama $p=x$ e $q=y$, e poi dimenticati che $x$ e $y$ sono irrazionali e prova prima a risolverlo facendo finta che siano numeri reali, quindi fai un disegno delle condizioni. Infine scrivi $\frac{p}{q}=k$.

Vedi se con questi suggerimenti ti si sblocca qualcosa, altrimenti scrivi ancora

Grazie per i suggerimenti, ma pur riferendomi ai reali non cambia il problema. Io ho questa fz a due variabili positive, in cui il denominatore è sempre maggiore del numeratore. Quindi ho una fz limitata tra 0 e 1, ma non possono essere questi sup e inf visto che la funzione non può arrivare a questi valore. Poi vorrei capire il p^2 +3 a cosa mi serve.

[gugo82]

“Fz”???

[bosmer-votailprof]

"gugo82":“Fz”???

ah ah ah ah ah credo sia l'abbreviazione di "funzione" ah ah ah ah ah... Incredibile nascono gli slang e le abbreviazioni anche nella matematica ah ah ah

In ogni caso, devi vederla così cambiamo la notazione come ti ho detto di fare quindi l'insieme diventa:
$$
A=\left\{k=\frac{x}{y} \, , \, x,y\in \mathbb{R}-\mathbb{Q} : 0 $$
Adesso dimentichiamoci un attimo che siamo in $\mathbb{R}-\mathbb{Q}$ e facciamo finta di essere in $\mathbb{R}$. e concentriamoci sulla disequazione $0 Quindi prima la spezziamo in più disequazioni, le prime due ci dicono che $x>0$ e $y>0$ quindi siamo nel primo quadrante, poi $x
A questo punto basta notare che gli elementi di $A$ sono i valori $k=\frac{x}{y}$ ... ma esplicitiamo un attimo $y$... notiamo che diventa $y=\frac{1}{k}x$ cioè gli elementi $k$ di $A$ sono l'inverso dei coefficienti angolari delle rette(passanti per l'origine) "possibili", cioè quelle rette che almeno in un punto(di coordinate irrazionali) verificano $0

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[bosmer-votailprof]

Urca non avevo letto bene la tua risposta ero troppo distratto da "Fz" ha ha ah .

Ma tu hai in mano la soluzione allora!

"Michele1997":Quindi ho una fz limitata tra 0 e 1, ma non possono essere questi sup e inf visto che la funzione non può arrivare a questi valore.

Ma infatti nessuno ti ha chiesto di trovare massimo e minimo(che infatti non esistono)... Ripassati un attimo la definizione di Sup e Inf... se tu hai l'insieme $(0,1)$ il sup è $1$ e l'inf è $0$ eppure i punti dell'insieme non raggiungono questi valori...

"Michele1997":
Poi vorrei capire il $p^2 +3$ a cosa mi serve.

A un bel niente, è uno specchietto per le allodole, perché hai $p^2 +3>p$ per ogni $p>0$(in realtà per ogni $p\in mathbb{R}$ però chissene) ...ma se già ti avessero dato $5p$ sarebbe stato tutto un altro discorso...

[marco.ruggiero]

L'insieme è il seguente:

$A={p/q : p,q in RR-QQ, 0
Dimostriamo che l'estremo inferiore di $A$ è $0$.Ovviamente $0$ è un minorante di A. Sia $delta>0$ arbitrariamente piccolo; mettiamo che sia $delta<1$. Per la densità di $RR-QQ$ in $RR$, esiste $p in RR-QQ$ tale che $0
Analogamente si procede per dimostrare che supA=1. Ovviamente $1$ è un maggiorante di A. Sia $epsilon<1$.Per la densità di $RR-QQ$ in $RR$, esiste $p in RR-QQ$ tale che $epsilon^21/epsilon$, si ha $p/q>epsilon$. Dunque $1$ è il minimo dell'insieme dei maggioranti di A, sicchè supA=1.

[michele.demasi.92]

grazie mille
Pure io pensavo fosse sup=1 e inf=0, ma sembrava troppo scontato, quindi credevo ci fosse qualche particolarità che non notavo.