Sup e inf di un insieme
ciao ragazzi,ho finito di ripassare il bel libro di analisi I e adesso mi sto dedicando ai temi di esame della mia professoressa...in uno di questi viene chiesto di studiare l'estremo superiore e inferiore di un insieme...dato che a me ha portato non pochi dubbi ve lo mostro pure a voi xD
dato l'insieme
$E={Xn: Xn=1+((-1)^n*(n+1)/n), n=1,2,....}$
ora io ho provato a partire sostituendo 1 (che è il numero più basso che mi viene dato) e a vedere cosa porta e ottengo
$1+(-1)*(2)=-1$ a questo punto direi che è l'estremo inferiore nonchè il minimo dato che 1 appartiene all'insieme e che la successione è crescente...guardo le soluzioni per vedere se ho capito e mi viene detto che il minimo è $0$
per il massimo o estremo superiore penso di fare il limite per $n->oo$ di $Xn$, essendoci il problema di quel $(-1)^n$ provo la convergenza assoluta e mi viene che converge a $2$...quindi l'estremo superiore è $2$ e su questo mi da ragione anche il libro!
se qualcuno potesse togliermi i dubbi sul minimo gliene sarei grato!:)
dato l'insieme
$E={Xn: Xn=1+((-1)^n*(n+1)/n), n=1,2,....}$
ora io ho provato a partire sostituendo 1 (che è il numero più basso che mi viene dato) e a vedere cosa porta e ottengo
$1+(-1)*(2)=-1$ a questo punto direi che è l'estremo inferiore nonchè il minimo dato che 1 appartiene all'insieme e che la successione è crescente...guardo le soluzioni per vedere se ho capito e mi viene detto che il minimo è $0$
per il massimo o estremo superiore penso di fare il limite per $n->oo$ di $Xn$, essendoci il problema di quel $(-1)^n$ provo la convergenza assoluta e mi viene che converge a $2$...quindi l'estremo superiore è $2$ e su questo mi da ragione anche il libro!
se qualcuno potesse togliermi i dubbi sul minimo gliene sarei grato!:)
Risposte
Mi sembra che tu, per trovare il min/inf, guardi quanto vale il primo elemento, e per trovare il sup/max guardi l'ultimo.
E' sbagliatissimo!
Nell'esercizio in questione, siccome hai quel $(-1)^n$ che ti dà problemi, distingui due casi: $n$ pari e $n$ dispari
E' sbagliatissimo!
Nell'esercizio in questione, siccome hai quel $(-1)^n$ che ti dà problemi, distingui due casi: $n$ pari e $n$ dispari
grazie per il suggerimento...provo a svolgerlo ti dispiacerebbe buttarci un occhio? così magari una volta imparato per uno imparo per tutti 
dunque distinguo il caso $n$ pari ho così
$1+((n+1)/n)$ = $1+(1+1/n)$ = $2+1/n$ con $n=2,4,6,...$
$n$ dispari
$1-((n+1)/n)$ = $1-(1+1/n)$ = $-1/n$ con $n=1,3,5,7,9.....$
ora...partendo dal caso $n$ pari è una successione che ha come massimo $5/2$ e come inf $2$ (limitata in $(2,5/2]$)? (è questo passaggio che mi frega sempre)
con $n$ dispari posso dire che ha come minimo $-1$ e come sup $0$(limitata in $[-1,0)$?
e poi cosa dovrei fare? sono nel pallone
dunque distinguo il caso $n$ pari ho così
$1+((n+1)/n)$ = $1+(1+1/n)$ = $2+1/n$ con $n=2,4,6,...$
$n$ dispari
$1-((n+1)/n)$ = $1-(1+1/n)$ = $-1/n$ con $n=1,3,5,7,9.....$
ora...partendo dal caso $n$ pari è una successione che ha come massimo $5/2$ e come inf $2$ (limitata in $(2,5/2]$)? (è questo passaggio che mi frega sempre)
con $n$ dispari posso dire che ha come minimo $-1$ e come sup $0$(limitata in $[-1,0)$?
e poi cosa dovrei fare? sono nel pallone
Tutto corretto.
A questo punto unisci le due cose: l'insieme $E$ è limitato in $[-1,5/2]$
Il minimo è $-1$ e il massimo è $5/2$.
Fine
A questo punto unisci le due cose: l'insieme $E$ è limitato in $[-1,5/2]$
Il minimo è $-1$ e il massimo è $5/2$.
Fine
sono nel pallone perchè il risultato che riporta la mia prof è $[0,2)$
Beh, allora o la traccia è scritta male o la prof sbaglia
vab comunque ho capito il procedimento! proverò a farne degli altri e vedere se era solo questo che dava un risultato sbagliato xD
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