Sup e Inf di un insieme

[Sorriso91]

Durante il tutoraggio di Analisi stavo svolgendo, al solito, alcuni esercizi, tra cui il seguente:

Determinare l'estremo superiore e inferiore dell'insieme A e dire se si tratta rispettivamente del massimo e del minimo:
A=${(5-4n)/(n^2 +8n -1) : n in N}$

Io ho iniziato sostituendo alla n alcuni valori per avere un'idea dell'andamento della funzione. Pensavo di trovare l'Inf e il Sup e poi di dimostrare che si trattava effettivamente di essi sfruttando le rispettive definizioni. Ma il tutor appena ha notato che iniziavo a sostituire i valori si è avvicinato chiedendomi cosa stessi facendo e come pensavo di continuare, per poi bocciare la mia idea, asserendo che sarebbe bastato studiare la monotonicità della successione. Visto che non ho avuto modo di chiedere deluciadazioni, mi appello a voi. Perchè la mia idea iniziale non andava? E, una volta stabilito che la mia successione è monotona o meno, come vado avanti??

[Seneca1]

Sostituendo alcuni valori di $n$ hai un'idea di come può procedere la cosa.

Sai come potresti provare che è monotona? Sai la definizione di funzione monotona?

[Sorriso91]

Una successione è monotona se è crescente o decrescente. Quindi se la mia successione è $a_n$ per la monotonicità basta che studio la disequazione $a_n

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[Newton_1372]

Aspetta, chiariamoci bene. Ci sono principalmente due modi per scovare il sup e inf di una successione.

MODO 1: e quello piu diretto, e si usa la definizione. Per definizione diremo che sup A = il MINIMO dei maggioranti di A. Per maggiorante di a, che denotiamo alfa, intendiamo tutti i numeri che soddisfano la seguente condizione
$\alpha>\frac{5-4n}{n^2+8n-1}$. Si risolve questa disequazione rispetto alla variabile n, ottenendo una disequazione del tipo $n>f(\alpha)$, cioè una diseguaglianza dove al secondo membro figura una funzione di alpha. A noi serve che quella disequazione sia verificata "per tutto N", cioè dobbiamo scegliere alfa in modo da avere $f(\alpha)=1$ se il segno è maggiore, oppure $f(\alpha)=\infty$ se il segno è minore.

MODO 2: Teorema del limite di una successione monotona: Se una funzione è monotona crescente, allora il limite è l'estremo superiore. Quindi ti basta calcolare il limite della funzione suddetta per avere il sup. L'inf ovviamente sarà il primo membro. Se è monotona decrescente il lim sarà l'inf e il primo membro il sup.

[Sorriso91]

Intanto vi ringrazio immensamente per le risposte. Newton_1372 devo essere sincera, il primo metodo non mi è molto chiaro. Riguardo al secondo ok. Quindi il mio Tutor si riferiva al MODO 2? E se la mia successione ad esempio risultasse crescente solo in un dato intervallo, che posso asserire riguardo Inf e Sup?