Sup e inf di sottoinsiemi

[DavideGenova1]

Una cosetta estremamente elementare che mi sembra del tutto ovvia e banale da dimostrare e che mi vergogno a chiedere (mentre poi mi sto scervellando con questo), ma che chiedo perché a volte può capitare che quando le cose sembrano più evidenti ci sia qualche cosa che mi è sfuggita:\[A\subset B\Rightarrow\sup A\le\sup B\]\[A\subset B\Rightarrow\inf A\ge\inf B\]giusto?
Grazie a tutti!!!

[Alegomind]

Ciao, se i sottoinsiemi in questione sono sottoinsiemi di insiemi in cui è possibile stabilire una relazione d'ordine (nel caso più generico l'insieme dei reali rispetta questa proprietà ) allora è corretta la disuguaglianza da te proposta.

[Fioravante Patrone1]

Sì, sono giuste. Come ben sai, il modo migliore per esserne sicuri è dimostrarlo... Cosa che sai ovviamente fare, ma oggi è domenica
Vediamo la prima (se la prima è vera lo è anche la seconda, "senza dimostrazione").

sup B è un maggiorante per B , quindi b $\le$ sup B per ogni b in B e quindi anche per ogni a in A, ovvero sup B è un maggiorante per A.
Visto che sup A è il minimo dei maggioranti, "per definizione" sup A $\le$ sup B

NB: funziona anche se A è vuoto... O in quel caso magari si può ricordare che il sup di un insieme vuoto è $-oo$

[DavideGenova1]

Certo, certo, non c'è praticamente nulla di matematico che mi passi per la mente che non tenti di dimostrare a me stesso... (avendo trovato enunciato senza dimostrazione su un testo di fisica generale che le leggi di Ampère e Biot-Savart sono equivalenti, mi sono fermato con gli studi, da autodidatta, di fisica per cercare una dimostrazione di tale equivalenza, trovandone solo che utilizzano disinvoltamente la $\delta$ di Dirac in un modo che è circa un mese che sto cercando di capire che cosa significhi... Quindi non sono certo del tipo di chi si accontenta di enunciati do cose intuite, ma non dimostrate) $\infty$ grazie!