Sup di una funzione in [a,inf)
Mi era venuto il seguente dubbio.
Prendiamo questo esercizio.
La funzione limite è 0.
La derivata di f(x) è costante, maggiore di zero quindi f è sempre crescente.
Da cui il sup della funzione è per x nel estremo destro del insieme di definizione.
La funzione converge uniformemente su tutto R?
Dire che opzione giusta sia la 3, ma mi chiedo perché le altre non siano valide.
In particolare per la prima. ( I = R )
Ovvero $lim_n(n * x +1) / (n^2 +1) = 0$ perché per ogni x appartenente a R il limite è nullo.
Oppure $lim_n(n * x +1) / (n^2 +1) = 1$ per x molto grande (per esempio x = n)
Prendiamo questo esercizio.
La funzione limite è 0.
La derivata di f(x) è costante, maggiore di zero quindi f è sempre crescente.
Da cui il sup della funzione è per x nel estremo destro del insieme di definizione.
La funzione converge uniformemente su tutto R?
Dire che opzione giusta sia la 3, ma mi chiedo perché le altre non siano valide.
In particolare per la prima. ( I = R )
Ovvero $lim_n(n * x +1) / (n^2 +1) = 0$ perché per ogni x appartenente a R il limite è nullo.
Oppure $lim_n(n * x +1) / (n^2 +1) = 1$ per x molto grande (per esempio x = n)
Risposte
$f_n$ converge uniformemente a $f$ in un insieme E se $AA epsilon>0$ esiste $n_0$ tale che $AA n>n_0$ risulta $"sup"|f_n-f|
nel tuo caso $f=0$ quindi per convergere $f_n$ deve essere $"sup"|f_n|
il $"sup"|f_n|$ vale $+oo$ in ogni insieme illimitato (il sup è fatto al variare di x in E)
quindi converge uniformente solo in insiemi limitati. E' un poì che non faccio esercizi di questo tipo, dovrebbe comunque essere corretto
nel tuo caso $f=0$ quindi per convergere $f_n$ deve essere $"sup"|f_n|
il $"sup"|f_n|$ vale $+oo$ in ogni insieme illimitato (il sup è fatto al variare di x in E)
quindi converge uniformente solo in insiemi limitati. E' un poì che non faccio esercizi di questo tipo, dovrebbe comunque essere corretto
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