[Sup] Come si calcola

rocco.g1
Ciao!

Vorrei capire come fare a calcolare esplicitamente il sup di una funzione o di una serie...

Dunque, data una serie generica, ad esempio, per studiare la convergenza uniforme si fa il limite di N che tende all'infinito del sup|s_N(x) - s(x) | e si vede se questo vale zero o meno.

Ora mi chiedo, s_N(x) è la serie di termine generale ? e allora s(x) che sarebbe ? il limite puntuale della serie ?

Una volta capito cosa bisogna scrivere nel modulo, come si calcola il sup ? intendo proprio a livello di calcolo numerico... ancora non l'ho capito... :(

guardate qui... ho sottolineato i passaggi più oscuri... :)



Qualcuno mi spiega i passaggi e perchè arriva a scrive il sup in quel modo ?

Grazie! :-)

Risposte
david_e1
Scusami ma ho visto prima il tuo vecchio topic e in parte ho risposto su quello.

Comunque in questo caso particolare:

Nell'equazione (5) per prima cosa ha calcolato:

s(x)-s_N(x)

Poi lo ha minorato con qualcosa che diverge mostrando che il sup e' +00. (lo ha minorato col primo addendo della somma! che e' sicuramente <= di se stesso sommato altre robe positive)

Dopo ha ricalcolato s(x)-s_N(x) e ha maggiorato il sup di questo nell'intervallo [0 a] con qualche cosa che converge a zero per mostrare che negli insiemi di questo tipo il sup e' zero. Non vorrei sbagliarmi ma la chiave di questo passaggio e' la minorazione:

log(1+y) <= y

Sapendo che x<=a

Ha posto:

log(1+x/(n^2) < a/(n^2)

Dopo di che ha semplificato e portato fuori a che non dipende dall'indice di somma....

In pratica riassumendo:
a) Si minora il sup con qualcosa che diverge per mostrare la non convergenza nell'insieme IR+.
b) Si maggiora il sup con qualche cosa che converge in un certo insieme I per mostrare la convergenza in I.

E' un metodo che richiede a priori un certo intuito per capire dove la serie diverge e dunque poter metterci a trovare il minorante e dove converge per poter trovare il maggiorante.

In questo caso si vede che per ogni x fissato abbiamo la convergenza, ma che se prendiamo x=n^3 (ad esempio) (cosa lecita quando discutiamo la convergenza uniforme) abbiamo la divergenza, quindi potremmo non convergere in un intorno di 00. A questo punto ci si mette a fare la dimostrazione formale con i sup etc.....

Da un punto di vista euristico uno puo' pensare, infatti, la convergenza uniforme come la convergenza per ogni x reale e per ogni x classe di equivalenza di successioni (tipo analisi non-standard) e quindi anche per x numero infinitesimo o infinito (o finito ma distante da un reale per un infinitesimo). Non credo che sia formalmente del tutto corretto pensarla cosi', ma a me ha semplificato tantissimo la vita questo approccio.....

rocco.g1
mm credo di aver capito a grandi linee la faccenda...
a volte, come dicevi nell'altro post, calcolare esplicitamente il sup è troppo difficoltoso e quindi bisogna trovare il modo per maggiorare il sup, ma questo non è sempre possibile per serie che non sono tanto conosciute, che poi son quelle che vengono fuori all'esame :(

Cmq nel sup ci metto s_N(x) che è la serie data, ma s(x) è il suo limite puntuale ? o cosa altro ?

( ho letto anche l'altro post... cmq rispondo solo a questo, dato che l'argomento è il medesimo... )

david_e1
No calcolare il sup per serie non note e' quasi impossibile, ma trovare maggiorazioni o minorazioni e' sempre possibile (nei casi accademici!)...

Nel sup si mette S_N che e' la serie data ed s(x) che e' la funzione cui la serie converge puntualmente: la convergenza uniforme implica quella puntuale per cui non ha senso calcolare il sup della differenza con qualcosa cui s_N non converge puntualmente perche' sarebbe comunque DIVERSO da zero...

rocco.g1
mm ok grazie infinite david_e !!!

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